912 подписчиков

Школьные задачи / Алгебра

14 сентября 202314 сен 2023

102

6 мин

Тематические серии:

решение уравнений: А-8, А-12, А-9, А-15
решение уравнений с целой и дробной частями числа: А-40, А-46, А-47, А-48, А-49, А-50, А-53, А-52, А-51
построение графика функции: А-4, А-5, А-70, А-74, А-63, А-44, А-65
построение графиков (выражения с обратными тригонометрическими функциями): А‑32, А-33, А-31, А-62, А-34, А-38, А-58, А-57
построение графика функции, выражение которой содержит дробную часть числа: А-17, А-39, А-18, А-19, А-20, А-21, А-22
построение графика функции, выражение которой содержит целую часть числа: А-35, А‑36, А-37, А-39
построение графика уравнения: А-11, А-25, А-75, А-1, А-23, А-24
построение графика уравнения вида f(y) = f(x): А-16, А-83, А-82, А-81, А-80, А-10, А-26, А-79, А-29, А-30, А-78, А-77, А-76
построение графика уравнения вида f(y)·f(x) = k : А-84, А-85, А-86, А-87, А-88, А-89, А‑90, А-91, А-92, А-93, А-95, А-96, А-97, А-98, А-99, А-100
построение множества точек, координаты которых удовлетворяют условию: А-27, А-54, А-55, А-67, А-66
построение множества точек, координаты которых удовлетворяют набору условий: А-6, А-94, А-2, А-3, А-7, А-28
вычисление значения интеграла: А-41, А-42, А-45, А-69, А-71
решение систем уравнений: А-61, А-59, А-60
разные задачи: А-56, А-73, А-72, А-13, А-14, А-43, А-64, А-68

А-1. Изобразите на координатной плоскости множество точек координаты которых удовлетворяют уравнению:

x² + y² = |2x| + |2y| – 1

А-2. Изобразите на плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств:

А-3. Дана система неравенств:

а) Изобразите на плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют данной системе.

б) Определите у получившейся фигуры координаты точек, наиболее удалённых от начала координат.

(4, 5) Построить график функции:

А-4.

y = ¹/₂·(|x² – 1| – (x² – 1))

А-5.

y = | |x| – 1 | – (|x| – 1)

А-6. Изобразите на плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют следующей системе неравенств:

А-7. Изобразите на плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют следующему набору условий:

(8, 9) Решите уравнение:

А-8.

А-9.

cos⁴ x – 1 111·cos³ x – 112 110·sin² x – 1 111 000·cos x + 1 112 110 = 0

(10, 11) Построить график уравнения:

А-10.

sin x = sin y

А-11.

| y | = sin x

А-12. Решите уравнение:

А-13. Найти значение выражения, если n – натуральное, а m – целое:

А-14. Разложить на множители: m⁵ + m⁴n + m³n² + m²n³ + mn⁴ + n⁵

А-15. Найти все корни уравнения: z⁵ + 2z⁴ + 4z³ + 8z² + 16z + 32 = 0

А-16. Изобразить множество точек, координаты которых удовлетворяют условию: y² = x²

А-17. Дробная часть числа x обозначается как {x}. Данная функция определена на всём множестве действительных чисел, область её значений – полуинтервал [0;1), кроме того, она является периодической функцией с периодом, равным 1. С учётом этих данных построить график функции

y = |{x} – ½|

(18-22) Построить график функции:

y = |{x}² – ½|

(23-26) Построить график уравнения:

{x} = {x}² + y²

y² = ({x} – ½)²

y² = sin⁴ x

tg y = tg x

А-27. Изобразите на плоскости множество точек, координаты которых соответствуют требованию:

|y| ≤ sin²x + 1

А-28. Изобразить на плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств:

А-29. Построить график уравнения:

{y} = {x}

А-30. Целая часть числа x обозначается как [x]. Под ней понимается наибольшее целое число, не превышающее заданное. Функция у = [x] определена на всём множестве действительных чисел. С учётом этих данных построить график уравнения:

[y] = [x]

(31-38) Построить график функции:

y = arcsin(sin x)

y = arccos(cos x)

y = arctg(tg x)

y = arcsin(sin x) + arccos(cos x)

y = [x]²

y = [x²]

y = [sin x]

y = arctg(tg x) – arcctg(ctg x)

А-39. Под целой частью числа x (обозначается при помощи квадратных скобок [x]) понимается наибольшее целое число, не превышающее заданное. Дробная часть x обозначается фигурными скобками и определяется как разность между самим числом и его целой частью: {x} = x – [x] . Область определения функций y=[x] и y = {x} – всё множество действительных чисел, к тому же y = {x} является периодической функцией с периодом, равным 1, а область её значений – полуинтервал [0; 1). На основании данной информации построить график функции:

y = [{x} – ¹/₂]

А-40. Решите уравнение:

[x] = [x]²

А-41. Найти значение интеграла

если y(x) = ¹/₂·(|x² – 1| – (x² – 1)).

А-42. Найти значение интеграла

А-43. Решите неравенство:

А-44. Построить график функции:

А-45. Найти значение интеграла

(46, 47) Даны два действительных числа a и b, такие, что a < b. Решите уравнение:

А-46.

А-47.

(48-53) Решите уравнение:

А-48.

44[x]{x} = [x]

А-49.

5{x}² – 28{x} + 15 = 0

А-50.

[x² + 2x – 3] + 4 = 0

А-51.

[x² + 2|x| – 3] = 4

А-52.

[3{x}² + 8{x} – 3] = 0

А-53.

4[x]{x} + 4 = x + 15{x}

(54, 55) Изобразите на плоскости множество точек, координаты которых соответствуют требованию:

А-54.

|y| ≤ sin(arcsin x) + 1

А-55.

|y| ≤ sin(arcsin x) + 1

А-56. Доказать, что при x ∈ [–1; 1] выполняется тождество:

sin(arccos x) = cos(arcsin x)

(57, 58) Построить график функции:

А-57.

y = cos(arcsin(sin x))

А-58.

y = sin(arccos(cos x))

А-59. Решите систему уравнений:

А-60. Каким условиям должны удовлетворять действительные числа a, b, c и d, чтобы система уравнений

имела ровно два решения?

А-61. Найдите решения системы уравнений:

A-62. Построить график функции, если a > 1:

y(x) = a·sin(arcsin(x/a))

А-63. Построить график функции:

y = 1 + |x|·(| |x| – 1 | – 1)

А-64. При каких значения параметра a неравенство

|x|·(| |x| – 1 | – 1) ⩾ a

выполняется при любом значении x?

А-65. Построить график функции:

(66, 67) Изобразите на плоскости множество точек, координаты которых соответствуют требованию:

А-66.

А-67.

А-68. Найдите площадь фигуры, образуемой точками на плоскости, координаты которых удовлетворяют следующему условию:

А-69. Найти значение интеграла

А-70. Построить график функции

А-71. Найти значение интеграла

А-72. Функция y = f(x) определена на интервале (a; b). Найдите область определения функции y = f(|x|) и опишите, как будет выглядеть её график, если:

а) 0 < a < b ;

б) a < 0 < b .

А-73. Функция y = f(x) определена на интервале (a; b). Найдите область определения функции

и опишите, как будет выглядеть её график, если a < 0 < b .

А-74. Построить график функции (a – постоянное действительное число):

А-75. Построить график уравнения, если a, b – постоянные числа и a < b :

А-76. Функция «гиперболический синус» обозначается как sh t и определяется так:

sh t = (eᵗ – e⁻ᵗ)/2

Построить на координатной плоскости график уравнения

sh y = sh x

А-77. Функция «гиперболический косинус» обозначается как ch t и определяется так:

ch t = (eᵗ + e⁻ᵗ)/2

Построить на координатной плоскости график уравнения

ch y = ch x

А-78. Функция знака числа, называемая также «сигнум», определена для любого действительного аргумента t. Обозначается она как sgn t и принимает нулевое значение при t = 0, а при положительных и отрицательных значениях аргумента сигнум равен 1 и –1 соответственно. На основании этих сведений построить на координатной плоскости график уравнения

sgn y = sgn x

А-79. Функцию «секанс» обычно определяют как величину, обратную косинусу:

sec t = 1/cos t

Построить на координатной плоскости график уравнения

sec y = sec x

А-80. Построить на координатной плоскости график уравнения

yⁿ = xⁿ ,

если: а) n = 2k ; б) n = 2k – 1 ; в) n = –2k ; г) n = 1 – 2k (k – натуральное число).