Задание
Построить график функции
y = 1 + |x|·(| |x| – 1 | – 1)
Решение
Прежде всего заметим, что выражение данной в условии задачи функции y(x) не имеет никаких ограничений, которые следовало бы наложить на возможные значения её аргумента, то есть областью определения y(x) является всё множество действительных чисел. Поскольку
|–x| = |x|, то другим важным для решения обстоятельством является то, что
y(–x) = y(x) ,
иными словами функция y(x) обладает свойством чётности и её график симметричен относительно оси ординат. Благодаря этому достаточно рассмотреть построение графика при x ⩾ 0, но в этом случае |x| = x и выражение y(x) упростится:
y₁ = 1 + x·(|x – 1| – 1)
Раскроем оставшееся под модулем выражение:
Полученные результаты говорят о следующем.
Во-первых, при x ⩾ 1 график y₁(x) (а равно и график y(x) ) совпадает в графиком функции (x – 1)², то есть представляет собой квадратичную параболу y = x², смещённую на единицу вправо (рис. 1), в сторону положительных значений оси абсцисс(с учётом требования x ⩾ 1 получается правая ветвь параболы).
Во-вторых, на полуинтервале x ∈ [0; 1) график y₁(x) совпадает с графиком
y = 1 – x² ,являющимся квадратичной параболой с опущенными вниз ветвями и поднятой вверх на единицу (в сторону положительных значений оси ординат).
Для получения графика y(x) остаётся отразить относительно оси ординат построенную для y₁(x) линию.
Ответ
Другие задания, имеющиеся на канале, можно найти здесь:
