Задание
Решите уравнение:
[x² + 2x – 3] + 4 = 0
(под целой частью числа x понимается наибольшее целое число, не превышающее заданное; её принято обозначать при помощи квадратных скобок: [x]; функция y = [x] определена на всём множестве действительных чисел).
Решение
Для удобства обозначим квадратный трёхчлен в уравнении следующим образом:
x² + 2x – 3 = t,
после чего перенесём 4 в правую часть. Получим:
[t] = –4
Целая часть числа равна –4, если само это число находится на следующем промежутке:
–4 ≤ t < –3
Если сделать обратную замену, то получим, что исходное уравнение равносильно системе неравенств:
[x² + 2x – 3] + 4 = 0 ⇔
Преобразуем её:
Первое неравенство выполняется при любом действительном x, поэтому вся система равносильна второму неравенству:
⇔ x(x + 2) < 0
Решим его методом интервалов (рис. 1). Выражение x(x + 2) обращается в ноль при x = –2 и при x = 0. Подстановкой конкретных чисел легко определить, что x(x + 2) отрицательно при –2 < x < 0. Данный числовой промежуток и будет являться множеством решений исходного уравнения.
Ответ
x ∈ (–2; 0)
Другие задания, имеющиеся на канале, можно найти здесь: