Задание
Функция знака числа, называемая также «сигнум», определена для любого действительного аргумента t. Обозначается она как sgn t и принимает нулевое значение при t = 0, а при положительных и отрицательных значениях аргумента сигнум равен 1 и –1 соответственно. На основании этих сведений построить на координатной плоскости график уравнения
sgn y = sgn x
Решение
По определению сигнум числа x есть
Для наглядности на рис. 1 приведён график функции y = sgn x.
Для построения требуемого в условии графика уравнения рассмотрим три случая:
а) x = 0 .Такому условию на координатной плоскости отвечают все точки, лежащие на оси ординат. Уравнение при этом преобразуется к виду
sgn y = 0
Данному требованию соответствует только y = 0, таким образом при x = 0 исходное уравнение имеет ровно одно решение и ему на плоскости соответствует точка (0; 0).
б) x > 0 . В этом случае исходное уравнение перепишется так:
sgn y = 1
Такому условию отвечают точки, расположенные в «верхней» полуплоскости, а с учётом положительных x это будут все точки первого квадранта.
в) x < 0 . Здесь уравнение принимает вид
sgn y = –1
Этому требованию соответствуют точки в «нижней» полуплоскости, а с учётом условия отрицательных x это будут все точки третьего квадранта.
Таким образом уравнению sgn y = sgn x отвечают точки координатной плоскости, расположенные в первом и третьем квадрантах, а также точка в начале координат.
Ответ
Комментарий
Решение можно записать более лаконично с использованием равносильных преобразований:
Формулировка задачи намеренно сделана такой, чтобы ученик мог с ней справиться (см. также задания А-17 и А-30), ведь в школьном курсе математики функция sgn обычно не рассматривается, но сигнум может встретиться на уроках информатики, так как присутствует, например, среди стандартных функций различных диалектов языка программирования Basic
Sgn( )
и встроенных функций электронных таблиц Microsoft Excel
ЗНАК( )
Любопытно, что характер графика sgn y = sgn x своеобразно «роднит» сигнум с антье (функцией целой части числа), ведь как и в случае с графиком уравнения
[y] = [x]
(рис. 2, см. задачу А-30) на плоскости получаются не отдельные линии, а сплошные области.
В завершение также стоит заметить, что за исключением точки x = 0 сигнум совпадает с функцией y = x / |x|, являющейся к тому же ещё и производной модуля. Это позволяет дать другое определение для функции знака числа:
Другие задания, имеющиеся на канале, можно найти здесь:.
Сведения о новых статьях блога выкладываются в Telegram: Shuric_Himik
НОВОСТИ КАНАЛА
Уважаемые читатели! Сегодня начинается новый учебный год и поскольку у меня накопился заметный запас соответствующих материалов, готовых к выкладыванию в Сеть, то канал временно переходит в режим «две публикации в неделю».
