Задание
Решите уравнение:
[x] = [x]²
(под целой частью числа x понимается наибольшее целое число, не превышающее заданное; её принято обозначать при помощи квадратных скобок: [x]; функция y = [x] определена на всём множестве действительных чисел).
Решение
Сделаем замену переменной:
t = [x]
В этом случае исходное уравнение преобразуется к виду:
t = t² ⇔ t² – t = 0 ⇔ t·(t – 1) = 0
Произведение нескольких множителей равно нулю, когда хотя бы один из них равен нулю. Получаем, что или
t = 0
или
t – 1 = 0 ⇔ t = 1
Возвращаясь к старой переменной получаем два варианта:
1) [x] = 0
Целая часть равна нулю для чисел больших или равных нулю, но меньших единицы, то есть исходному уравнению в рассматриваемом случае будут удовлетворять все числа полуинтервала x ∈ [0; 1).
2) [x] = 1
Целая часть равна единице для чисел больших или равных 1, но меньших 2, то есть решениями исходного уравнения в данном случае будут все числа полуинтервала x ∈ [1; 2).
Оба получившихся полуинтервала можно объединить в один, который и будет решением уравнения: x ∈ [0; 2).
Ответ
x ∈ [0; 2).
Комментарий
Альтернативный способ нахождения корней рассмотренного уравнения – графический, при его использовании нужно отыскать общие точки графиков функций y = [x] и y = [x]². Этот вариант решения был фактически продемонстрирован в разборе решения задачи А-35 – на рис. 1 пересечение графиков функций показано пурпурным цветом.
Вполне достойно внимания и ещё одно обстоятельство: решения уравнения образуют не конечный набор конкретных чисел, а непрерывное множество (полуинтервал), что обусловлено особенностью функции целой части числа. К слову:уравнение [y] = [x] также описывает совокупность областей на плоскости, а не линий (см. задачу А-30).
Другие задания, имеющиеся на канале, можно найти здесь:
