Задание
Каким условиям должны удовлетворять действительные числа a. b, c и d, чтобы система уравнений
имела ровно два решения?
Решение
Последовательность действий будет сходна с использовавшейся в задании А-59. Преобразуем сначала первое уравнение системы. Для этого все его слагаемые перенесём из правой в левую часть
xy + ab = bx + ay ⇔ xy + ab – bx – ay = 0 ,
а далее попробуем разложить левую часть на множители при помощи группировки:
xy + ab – bx – ay = xy – bx – ay + ab = x(y – b) – a(y – b) = (y – b)(x – a)
Аналогично поступим со вторым уравнением:
xy+ cd = dx +cy= 0 ⇔ xy + cd – dx – cy = 0
и
xy + cd – dx – cy = xy – dx + cd – cy = x(y – d) – c(y – d) = (y – d)(x – c)
Таким образом с исходной системой можно осуществить следующие равносильные преобразования:
Переход (1) осуществляется исходя из того что произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Шаг (2), представляющий переход от системы из двух объединений к объединению четырёх систем, получается из следующих соображений. Знак объединения (квадратная скобка) имеет смысл логического сложения, а знак системы – логического умножения. Присвоив математическим выражениям соответствующие буквенные обозначения
A: x = a
B: y = b
C: x = c
D: y = d
можно сначала систему из двух объединений формально представить в виде
(A + B)·(C + D) ,
раскрыть скобки
(A + B)·(C + D) = A·C + A·D + B·C + B·D
и переписать получившееся выражение уже как объединение четырёх систем. Легко видеть, что в нём вторая и третья системы
как раз описывают два решения системы исходной: (a; d), (c; b), причем эти решения будут существовать всегда, вне зависимости от того, какие значения имеют числа a, b, c, d. Если теперь вернуться к требованию задачи, то из него вытекает, что для его выполнения необходимо и достаточно, чтобы первая и четвёртая системы объединения решений не имели, то есть были равносильны пустому множеству:
Для этого надо, чтобы a, b, c, d соотносились между собой следующим образом:
a ≠ c и b ≠ d
Эти выражения и будут условиями наличия у исходной системы уравнений только двух решений, тем не менее для полноты рассмотрения задачи имеет смысл выяснить, что будет при невыполнении установленных условий. Для наглядности изобразим сначала графики уравнений (x – a)·(y – b) = 0 и (x – c)·(y – d) = 0 (они равносильны исходным уравнения системы – см. выше). График первого уравнения представляет собой совокупность линий, описываемых уравнениями x = a и y = b, а график второго – совокупность линий x = c и y = d. На рис. 1 изображён случай, когда a ≠ c и b ≠ d, а решения системы есть точки пересечения графиков уравнений, имеющие координаты (a; d) и (c; b).
Пусть теперь a = c, а b ≠ d . Исходную систему тогда можно записать в виде
График её уравнений изображён на рис. 2 и видно, что их общие точки (множество решений) составляют линию x = a. Иными словами исходная система при a = c, а b ≠ d имеет бесконечно много решений, совокупность которых можно описать как x = a, а y – любое действительное число.
Случай, когда a ≠ c, а b = d приводит к системе вида
которая также имеет бесконечное количество решений, в которых y = b, а x – любое действительное число (рис. 3).
Ну и наконец вариант, когда a = c, а b = d . Здесь система вырождается в одно уравнение
(x – a)·(y – b) = 0 ,
для которого множество пар чисел x и y, обращающих его в верное числовое равенство (то есть множество решений) можно описать как или x = a, а y ∈ ℝ, или y = b, а x ∈ ℝ, что дополнительно иллюстрируется на рис. 4.
Ответ
a ≠ c ; b ≠ d
Другие задания, имеющиеся на канале, можно найти здесь:
См. также: