Задание
Решите уравнение:
[x² + 2|x| – 3] = 4
(под целой частью числа x понимается наибольшее целое число, не превышающее заданное; её принято обозначать при помощи квадратных скобок: [x]; функция y = [x] определена на всём множестве действительных чисел).
Решение
Проведём с уравнением равносильные преобразования, раскрыв модуль и учитывая, что величина, целая часть которой равна 4, имеет значение меньшее 5, но не меньшее 4:
[x² + 2|x| – 3] = 4 ⇔
В объединении двух систем фигурируют четыре квадратных неравенства. Решим каждое из них методом интервалов. Для этого необходимо найти нули квадратных трёхчленов. Выделим сначала из них полные квадраты:
1) x² + 2x – 7 = x² + 2x + 1 – 1 – 7 = (x + 1)² – 8
2) x² + 2x – 8 = x² + 2x + 1 – 1 – 8 = (x + 1)² – 9
3) x² – 2x – 7 = x² – 2x + 1 – 1 – 7 = (x – 1)² – 8
4) x² – 2x – 8 = x² – 2x + 1 – 1 – 8 = (x – 1)² – 9
Запишем соответствующие квадратные уравнения и отыщем их корни:
Далее перейдём к квадратным неравенствам:
Теперь можно заняться решением первой системы неравенств:
Сделаем это графически. Из рис. 1. видно, что на числовой прямой общими точками для всех трёх неравенств является полуинтервал
Аналогично решается система
В её случае (рис. 2) имеем промежуток
Из полученных результатов следует, что множеством чисел, являющихся решением исходного уравнения, является объединение двух полученных выше полуинтервалов.
Ответ
Другие задания, имеющиеся на канале, можно найти здесь:
