Найти в Дзене
Широков Александр

Школьные задачи / Алгебра / А-51

Оглавление

Задание

Решите уравнение:

[x² + 2|x| – 3] = 4

(под целой частью числа x понимается наибольшее целое число, не превышающее заданное; её принято обозначать при помощи квадратных скобок: [x]; функция y = [x] определена на всём множестве действительных чисел).

Решение

Проведём с уравнением равносильные преобразования, раскрыв модуль и учитывая, что величина, целая часть которой равна 4, имеет значение меньшее 5, но не меньшее 4:

[x² + 2|x| – 3] = 4 ⇔

-2

В объединении двух систем фигурируют четыре квадратных неравенства. Решим каждое из них методом интервалов. Для этого необходимо найти нули квадратных трёхчленов. Выделим сначала из них полные квадраты:

1) x² + 2x – 7 = x² + 2x + 1 – 1 – 7 = (x + 1)² – 8

2) x² + 2x – 8 = x² + 2x + 1 – 1 – 8 = (x + 1)² – 9

3) x² – 2x – 7 = x² – 2x + 1 – 1 – 7 = (x – 1)² – 8

4) x² – 2x – 8 = x² – 2x + 1 – 1 – 8 = (x – 1)² – 9

Запишем соответствующие квадратные уравнения и отыщем их корни:

-3
-4

Далее перейдём к квадратным неравенствам:

-5
-6
-7
-8

Теперь можно заняться решением первой системы неравенств:

-9

Сделаем это графически. Из рис. 1. видно, что на числовой прямой общими точками для всех трёх неравенств является полуинтервал

-10
Рис. 1.
Рис. 1.

Аналогично решается система

-12

В её случае (рис. 2) имеем промежуток

-13
Рис. 2.
Рис. 2.

Из полученных результатов следует, что множеством чисел, являющихся решением исходного уравнения, является объединение двух полученных выше полуинтервалов.

Ответ

-15

Другие задания, имеющиеся на канале, можно найти здесь:

Школьные задачи | Широков Александр | Дзен

-16
Перечень публикаций на канале
Широков Александр2 декабря 2020

-17