Задание
Изобразите на плоскости множество точек, координаты которых соответствуют требованию:
Решение
Поскольку функция арксинуса определена не для любого значения аргумента, неравенство имеет смысл, если
–1 ⩽ 3x/(2π) ⩽ 1 или –2π/3 ⩽ x ⩽ 2π/3
Это означает, что сама область, изображающая множество точек, на координатной плоскости не будет выходить за пределы линий x = ±2π/3.
Рассмотрим отдельно выражение, стоящее под функцией косинуса. При решении задачи А-62 было установлено, что при a > 1 и –a ⩽ x ⩽ a справедливо соотношение
a·sin(arcsin(x/a)) = x
В нашем случае a = 2π/3, следовательно
и при x ∈ [–2π/3; 2π/3] можно выполнить следующие равносильные преобразования:
Как видно, для дальнейшего изображения множества точек необходимо построить график для y = |cos x| . Он легко может быть получен из косинусоиды y = cos x «отзеркаливанием» её частей, расположенных ниже оси абсцисс, в верхнюю полуплоскость (рис. 1).
Далее нужно будет построить график уравнения |y| = |cos x| – он получается «зеркальным» дублированием относительно оси абсцисс всего графика функции y = |cos x| (рис. 2).
Точки на плоскости,координаты которых удовлетворяют условию |y| ⩽ |cos x| , находятся в пределах области, ограничиваемой линиями графика |y| = |cos x| (см. комментарий к заданию А-27). Для завершения построения остаётся учесть требование x ∈ [–2π/3; 2π/3], чтобы получить искомое изображение множества точек, похожее на завёрнутую в фантик конфету (см. также упражнение А-66).
Ответ
Другие задания, имеющиеся на канале, можно найти здесь:
