Задание
Изобразите на плоскости множество точек, координаты которых соответствуют требованию:
Решение
Прежде всего следует обратить внимание на то, что поскольку функция арксинуса определена не для любого значения аргумента, неравенство имеет смысл, если
–1 ⩽ 2x/3 ⩽ 1 или –³/₂ ⩽ x ⩽ ³/₂
Это означает, что сама область, изображающая множество точек, на координатной плоскости не будет выходить за пределы линий x = ±³/₂.
Рассмотрим отдельно правую часть исходного неравенства. При решении задачи А-62 было установлено, что при a > 1 и –a ⩽ x ⩽ a справедливо выражение
a·sin(arcsin(x/a)) = x
В нашем случае a = ³/₂ , следовательно
³/₂·sin(arcsin(2x/3)) = x
и при x ∈[–³/₂; ³/₂] правая часть исходного неравенства может быть упрощена до
1 + |x|·(| |x| – 1 | – 1)
В задании А-63 рассматривалось построение графика функции
y= 1 + |x|·(| |x| – 1 | – 1) ,
из которого видно, что сама функция не принимает отрицательных значений на всей своей области определения, охватывающей все действительные значения аргумента (см. также разбор задания А-64). Из этого следует, что исходное неравенство в задании равносильно следующей системе неравенств:
Как видно, для дальнейшего изображения множества точек необходимо построить график для
Ранее в задаче А-65 такая функция уже была рассмотрена. Как указывалось выше, применительно к текущему заданию её график будет ограничен линиями x = ±³/₂ (рис. 1).
Теперь остаётся вспомнить правила, сформулированные в комментариях к задачам А-25 (применительно к рассматриваемому здесь упражнению это позволит построить график уравнения
) и А-27, чтобы изобразить искомое множество, которое представляет собой круг с примыкающими к ему с двух сторон равнобедренными прямоугольными треугольниками, а в целом получившаяся фигура напоминает завёрнутую в фантик конфету.
Ответ
Другие задания, имеющиеся на канале, можно найти здесь: