Задание
Построить график функции
(дробную часть числа x принято обозначать в фигурных скобках: {x}; функция y={x} определена на всём множестве действительных чисел, область её значений – полуинтервал [0; 1), она является периодической функцией с периодом, равным 1).
Решение
Поскольку 0 ≤ {x} < 1, то из этого следует, что областью определения функции
является всё множество действительных чисел, а значит и указанная в условии задачи функция также определена при любом действительном x.
Для периодической функции f(x) с периодом T, выполняется следующее равенство:
f(x) = f(x + kT),
где k – целое число. Для функции дробной части числа (T = 1):
{x} = {x + k}
Отсюда вытекает, что
то есть y₁(x) также является периодической функцией с периодом T = 1. Построим её график. У целых чисел дробная часть по определению нулевая, значит:
Следует заметить, что длина отрезка на оси абсцисс между точками x = 0 и для x = 1 равна единице, что как раз составляет период T функции y₁(x).
В соответствии со смыслом самого понятия «дробная часть числа» на интервале (0; 1) справедливо следующее равенство:
{x} = x,
поэтому при 0 < x < 1 график y₁(x) полностью совпадает с графиком экспоненциальной функции (рис. 1)
Отметим на графике ещё две точки, соответствующие значениям y₁(0) и y₁(1) (рис. 2).
С учётом периодичности y₁(x) и величины периода (T = 1) становится ясно, что её график на всей области определения представляет собой бесконечную череду повторяющихся фрагментов экспоненты с бесконечным числом точек разрыва в местах, соответствующих целым значениям аргумента (рис. 3).
Далее построим график функции
Его можно получить из графика y₁(x) смещением последнего вдоль оси ординат на величину (e+1)/2 вниз (т. е. в сторону отрицательных значений ординаты) (рис. 4).
Легко заметить, что число (e+1)/2 – среднее арифметическое между e и 1, то есть данная величина располагается ровно посередине полуинтервала [1; e), являющегося множеством значений функции y₁(x).
Для построения графика функции
достаточно все точки графика y₃(x), лежащие в третьем и четвёртом квадрантах (т. е. имеющие отрицательные значения ординаты), зеркально отразить относительно оси абсцисс в полуплоскость положительных значений ординат. Получившийся результат представляет собой непрерывную (без точек разрыва)«зубчатую» линию. Из графика также видно, что функция y(x) обладает периодичностью (T = 1).
Ответ
Другие задачи, имеющиеся на канале, можно найти здесь.
↻ В изданиях былых лет иногда можно отыскать любопытные для себя сведения. Вот несколько примеров.