Задание
Построить график функции:
y = arctg(tg x) – arcctg(ctg x)
Решение
Построение графика y₁(x) = arctg(tg x) рассматривалось в задаче А-33 (рис. 1).
В комментарии к ней был приведён график функции y₂(x) = arcctg(ctg x), который строится с использованием тех же рассуждений (установление области определения функции, её периодичности и эквивалентности линейной функции внутри границ периода), что и y₁(x) (рис. 2).
В нашем случае требуется построить график функции
y(x) = y₁(x) – y₂(x)
Отметим, что графики как y₁(x), так и y₂(x) представляют собой последовательности линейных фрагментов, наклонённых под углом 45° по отношению к положительному направлению оси абсцисс.
Поскольку y₁(x) определена при x ≠ π/2 + πn, а y₂(x) имеет смысл при x ≠ πn, то областью определения y(x) являются все точки числовой оси, для которых выполняется условие x ≠ πn/2 (n∈ ℤ).
Легко заметить, что
arctg(tg(x + πn)) – arcctg(ctg(x + πn)) = arctg(tg x) – arcctg(ctg x)
Иными словами y(x + πn) = y(x) и заданная в условии функция является периодической с периодом T = π. Для построения её графика достаточно построить его на отрезке значений аргумента длиной π, а затем кратно периоду параллельно перенести вправо и влево вдоль оси абсцисс.
Выберем интервал –π/2 < x < π/2. Зная характер линий графиков y₁(x) и y₂(x) удобно интервал разбить на два и рассмотреть поведение y(x) = y₁(x) – y₂(x) на каждом из них по отдельности, тем более что при x = 0 функция не определена.
1) x ∈ (–π/2; 0)
На этом числовом промежутке y₁(x) совпадает с графиком функции y = x, а y₂(x) совпадает с y = x + π, следовательно y(x) = x – (x + π) = x – x – π = –π.
2) x ∈ (0; π/2)
Здесь графики y₁(x) и y₂(x) совпадают с графиком функции y = x, значит в данном случае y(x) = x – x = 0.
Изобразим полученные результаты на координатной плоскости (рис. 3).
Теперь остаётся принять во внимание периодичность y(x) из которой следует, что график функции
y = arctg(tg x) – arcctg(ctg x)
представляет собой бесконечную череду из линейных горизонтальных фрагментов длиной π/2 каждый, поочерёдно располагающихся на уровне y = 0 и y = –π .
Ответ
Другие задания, имеющиеся на канале, можно найти здесь: