Задание
Найти значение интеграла
если y(x) = ¹/₂·(|x² – 1| – (x² – 1)).
Решение
Обозначим для удобства
В задаче А-4 выполнялось построение графика функции y(x) (рис. 1) и было установлено следующее:
1) y(x) = 0 при x ∈ ( –∞; –1]⋃[1; +∞)
2) y(x) = 1 – x² при x∈ [–1; 1]
Представим значение I в виде суммы:
Так как при x ∈ (–∞; –1]⋃[1; +∞) значение y(x) равно нулю, то
Таким образом
С учётом того, что на отрезке [–1; 1] выполняется равенство
¹/₂·(|x² – 1| – (x² – 1)) = 1 – x²,
получаем:
Вычислим этот интеграл, воспользовавшись формулой Ньютона-Лейбница:
Ответ
4/3
Комментарий
В курсе средней школы понятие несобственного интеграла обычно не рассматривается, хотя оно относительно простое, фактически это предельное значение определённого интеграла. Например:
Несобственный интеграл можно разделять на сумму нескольких. К примеру, в случае т. н. интеграла Эйлера-Пуассона это может выглядеть так:
Другие задания, имеющиеся на канале, можно найти здесь: