Задание
Построить график функции:
y = [x²]
(под целой частью числа x понимается наибольшее целое число, не превышающее заданное; её принято обозначать при помощи квадратных скобок: [x]; функция y = [x] определена на всём множестве действительных чисел).
Решение
Для y(x) = [x²] определение значения y для каждого конкретного x состоит из двух этапов: возведения аргумента в квадрат и нахождения целой части у получившегося числа.
Заметим, что
[(–x)²] = [x²],
то есть y(x) является чётной функцией (y(–x) = y(x) ) и её график симметричен относительно оси ординат.
Для удобства построения сначала изобразим график функции y₁ = x² , а затем добавим к нему линии, соответствующие графикам функций y = n, где n – целое неотрицательное число (рис. 1).
Рассмотрим теперь часть правой ветки параболы y₁ = x² , заключённую между линиями y = n и y = n + 1 . Как нетрудно догадаться, данному фрагменту кривой соответствует интервал значений аргумента
Отсюда: n < x² < n + 1.
Заметим, что y(x) = [y₁] и
Таким образом имеем: y(x) = n при
Образно выражаясь, всё это означает, что под действием квадратных скобок на рассматриваемый фрагмент параболы её точки «осыпаются» на уровень линии y = n, образуя горизонтальный полуотрезок. Помня о чётности y(x) можно заключить, что аналогичный полуотрезок получится и при
Последовательный перебор значений n (0, 1, 2, 3, …) позволяет поэтапно изобразить график y = [x²], который таким образом представляет совокупность горизонтально ориентированных линейных фрагментов переменной длины, располагающихся на уровнях, соответствующих целым неотрицательным значениям ординат.
Ответ
Другие задания, имеющиеся на канале, можно найти здесь:
