Задание
Функцию «секанс» обычно определяют как величину, обратную косинусу:
sec t = 1/cos t
Построить на координатной плоскости график уравнения
sec y = sec x
Решение
Исходя из определения секанса по условию задачи фактически требуется построить график для
1/cos y = 1/cos x
Проведём с ним равносильные преобразования:
(после первого равносильного перехода в системе указаны ограничения на значения косинусов, так как они в уравнении стоят в знаменателе; на пятом переходе используется тождество, позволяющее заменить разность косинусов произведением синусов; в последнем переходе равенство x – y = 2πk переписано в виде y = x + 2πk, а не y = x – 2πk (как того требуют правила переноса),потому что под k подразумевается любое целое число 0, ±1, ±2, … ).
Рассмотрим объединение в полученной в итоге системе. Первое выражение (y = –x + 2πk) описывает серию уравнений
. . .
y = –x – 4π
y = –x – 2π
y = –x
y = –x + 2π
y = – x+ 4π
. . .
На координатной плоскости их графики представляют собой множество прямых линий, наклонённых под углом 135° по отношению к положительному направлению оси абсцисс и смещённых друг относительно друга по оси ординат на 2π.
Второе выражение в объединении (y = x + 2πk) задаёт другую серию уравнений
. . .
y = x – 4π
y = x – 2π
y = x
y = x + 2π
y = x + 4π
. . .
Их графики также являются прямыми линиями, наклонёнными под углом 45° по отношению к положительному направлению оси абсцисс, и смещёнными друг относительно друга по оси ординат на 2π.
Описанные серии линий в совокупности образуют график уравнения
cos y – cos x = 0,
имеющий вид бесконечной «сетки» (рис. 1).
Рассмотрим теперь первое выражение в итоговой системе:
y ≠ π/2 + πk
Оно описывает множество значений, которые не может принимать величина y в исходном уравнении (cos y ≠ 0). Графически это можно изобразить как бесконечную череду горизонтальных линий, расположенных на расстоянии π друг от друга. Второе уравнение системы
x ≠ π/2 + πk
описывает значения, которые нельзя принимать величине x и графически это выглядит как серия вертикальных линий, где расстояние между соседними составляет π (рис. 2).
Для завершения построения необходимо на графике cos y – cos x = 0 «выколоть» точки его пересечений с линиями, соответствующими требованиям cos x ≠ 0 и cos y ≠ 0 (рис. 3).
Ответ
Другие задания, имеющиеся на канале, можно найти здесь:..
Сведения о новых статьях блога выкладываются в Telegram: Shuric_Himik