Задание
Построить график функции:
y = arccos(cos x)
Решение
Найдём сначала область определения y(x) = arccos(cos x). Косинус числа cos x имеет смысл при любом действительном x. Областью значений аргумента арккосинуса, при которых он также определён,является отрезок [–1; 1], что полностью совпадает с областью значений функции косинуса. Отсюда следует, что заданная в условии задачи функция y(x) определена при любом действительном x.
Функция косинуса является чётной. Отсюда
arccos(cos(–x)) = arccos(cos x)
Таким образом y(x) = arccos(cos x) также является чётной (y(–x) = –y(x) ) и её график симметричен относительно оси ординат.
Функция косинуса – периодическая, её период T составляет 2π, следовательно верно равенство
arccos(cos(x+2πn)) = arccos(cos x), где n ∈ ℤ
то есть y(x) является периодической функцией с T = 2π (y(x+2πn) = y(x) ). Это означает, что для построения её графика достаточно построить его на отрезке значений аргумента длиной T, а затем кратно периоду параллельно перенести вправо и влево вдоль оси абсцисс. С учётом чётности y(x) удобно выбрать отрезок x ∈ [–π; π].
Рассмотрим отдельно такой отрезок значений аргумента y(x): x ∈ [0; π]. Арккосинус по определению – число от 0 до π, косинус которого равен заданной величине. В y(x) аргументом арккосинуса является cos x , а с учётом того, что арккосинус – функция обратная косинусу, это означает, что на рассматриваемом отрезке выражение arccos(cos x) возвращает значение самого x. Иными словами при x ∈ [0; π] имеем, что arccos(cos x) = x. , то есть график y(x) полностью совпадает с графиком линейной функции y = x. С учётом чётности это позволяет изобразить график y(x) при x ∈ [–π; π]:
Теперь остаётся принять во внимание периодичность y(x) и сделать вывод, что график функции y = arccos(cos x) представляет собой бесконечную ломаную линию.
Ответ
Комментарий
Если сравнить ответ в разобранной задаче с ответом к упражнению А-31:
несложно сделать заключение об одинаковости линий графиков функций y = arcsin(sin x) и y = arccos(cos x), более того – довольно просто преобразовать одну из них так, чтобы их графики совпали. Для этого достаточно сместить соответствующую y = arccos(cos x) линию на π/2 влево по оси абсцисс и сдвинуть на π/2 вниз по оси ординат, чтобы получить заодно наглядную демонстрацию следующего равенства:
arcsin(sin x) = arccos(cos(x + π/2)) – π/2
которое является модификацией известного соотношения
arcsin t + arccos t = π/2
если положить t = cos(x + π/2).
Другие задания, имеющиеся на канале, можно найти здесь:
См. также: