Задание
Построить график функции
(дробную часть числа x принято обозначать в фигурных скобках: {x}; функция y={x} определена на всём множестве действительных чисел, область её значений – полуинтервал [0; 1), она является периодической с периодом, равным 1).
Решение
Поскольку 0 ≤ {x} < 1, то из этого следует, что областью определения функции
является всё множество действительных чисел, а значит и указанная в условии задачи функция также определена при любом действительном x.
Для периодической функции f(x) с периодом T, выполняется следующее равенство:
f(x) = f(x + kT),
где k – целое число. Для функции дробной части числа (T = 1):
{x} = {x + k}
С учётом того, что дробная часть числа принимает только неотрицательные значения, при извлечении квадратного корня из обеих частей последнего выражения также получится верное равенство:
Отсюда следует, что y₁(x) тоже является периодической функцией с периодом T = 1. Построим её график. У целых чисел дробная часть по определению нулевая, следовательно:
Заметим, что длина отрезка на оси абсцисс между точками x = 0 и для x = 1 равна единице, что как раз составляет период T функции y₁(x).
В соответствии со смыслом самого понятия «дробная часть числа» на интервале (0; 1) справедливо следующее равенство:
{x} = x,
поэтому при 0 < x < 1 график y₁(x) полностью совпадает с графиком функции
то есть представляет собой ветвь квадратичной параболы (рис. 1).
Отметим на графике ещё две точки, соответствующие значениям y₁(0) и y₁(1) (рис. 2).
С учётом периодичности y₁(x) становится ясно, что её график на всей области определения представляет собой бесконечную череду повторяющихся параболических фрагментов и имеет бесконечное число точек разрыва в местах, соответствующих целым значениям аргумента (рис. 3).
Теперь построим график функции
Его можно получить из графика y₁(x) смещением последнего вдоль оси ординат на половину единицы вниз (т. е. в сторону отрицательных значений ординаты) (рис. 4).
Для построения графика функции
достаточно все точки графика y₃(x), лежащие в третьем и четвёртом квадрантах (т. е. имеющие отрицательные значения ординаты), зеркально отразить относительно оси абсцисс в полуплоскость положительных значений ординат. Получившийся результат представляет собой непрерывную (без точек разрыва) «зубчатую» линию. Из графика также видно, что функция y(x) обладает периодичностью (T = 1).
Ответ
Другие задачи, имеющиеся на канале, можно найти здесь.
