Задание
Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению:
x² + y² = |2x| + |2y| – 1
Решение
Следует рассмотреть четыре случая.
Случай 1: x ≥ 0, y ≥ 0, в соответствие с этим исходное выражение можно записать так:
x² + y² = 2x + 2y – 1
Преобразуем его следующим образом: сначала перенесём все имеющиеся слагаемые в левую часть:
x² – 2x + 1 + y² – 2y = 0 ,
после чего добавим к обеим частям равенства по единице:
x² – 2x + 1 + y² – 2y + 1 = 1
или
(x – 1)² + (y – 1)² = 1²
Получившееся выражение – уравнение окружности единичного радиуса с центром в точке (1; 1), то есть для x ≥ 0, y ≥ 0 множество точек, координаты которых удовлетворяют исходному выражению, выглядит следующим образом:
Случай 2: x < 0, y ≥ 0. Начальное уравнение можно переписать в следующем виде:
x² + y² = –2x + 2y – 1
Используя преобразования, что и в первом случае, можно получить:
(x + 1)² + (y – 1)² = 1²
Видно, что для x < 0, y ≥ 0 (второй квадрант координатной плоскости) получается уравнение окружности единичного радиуса, координаты центра которой – точка (–1; 1):
Рассмотрение случаев 3 (x < 0, y < 0) и 4 (x ≥ 0, y < 0) по аналогии с предыдущими двумя приводит к окружностям с радиусом 1, расположенным в третьем и четвёртом квадрантах с центрами в точках (–1; –1) и (1; –1) соответственно. Окончательное решение задачи будет представлять собой объединение решений каждого из рассмотренных случаев (четыре единичные окружности).
Ответ
Список других задач, имеющихся на канале, можно посмотреть здесь.
Перечень публикаций на канале