Задание
Построить график функции
(дробную часть числа x принято обозначать в фигурных скобках: {x}; функция y={x} определена на всём множестве действительных чисел, область её значений – полуинтервал [0; 1), она является периодической функцией с периодом, равным 1).
Решение
Поскольку 0 ≤ {x} < 1, то из этого следует, что всегда
1 – {x} > 0,
а это, в свою очередь, означает, что произведение
{x}·(1 – {x})
никогда не принимает отрицательных значений. Следовательно, областью определения функции
является всё множество действительных чисел.
Для периодической функции f(x) с периодом T, выполняется следующее равенство:
f(x) = f(x + kT),
где k – целое число. В частности для функции дробной части числа (T = 1):
{x} = {x + k}
Из этого равенства вытекает, что
то есть y(x) также является периодической функцией с периодом T = 1. У целых чисел дробная часть по определению нулевая, следовательно:
Заметим, что длина отрезка на оси абсцисс между точками x = 0 и для x = 1 равна единице, а это как раз составляет период T функции y(x).
В соответствии со смыслом самого понятия «дробная часть числа» на полуинтервале [0; 1) справедливо следующее равенство:
{x} = x,
поэтому при 0 ≤ x < 1 график y(x) полностью совпадает с графиком функции
Чтобы понять, как именно выглядит её график, проведём равносильные преобразования y₁(x), помня, что значение квадратного корня неотрицательно (то есть y ≥ 0), как и подкоренное выражение ( x·(1 – x) ≥ 0; при решении этого неравенства получается, что областью определения функции y₁(x) является отрезок [0; 1] ):
y² = x – x² ⇔
x² – x + y² = 0 ⇔
x² – 2·½·x + y² = 0 ⇔
x² – 2·½·x + (½)² + y² = (½)² ⇔
(x – ½)² + y² = (½)²
Полученное выражение есть уравнение окружности с радиусом ½ и центром в точке (½; 0). В соответствии с требованием y ≥ 0 получается, что график y₁(x) в области её определения (0 ≤ x ≤ 1) представляет собой верхнюю половину упомянутой окружности (рис. 1).
С учётом того, что
y(0) = y₁(0) = 0
y(1) = y₁(1) = 0
получается, что график y(x) на отрезке [0; 1] выглядит так же (рис. 2).
Если теперь принять во внимание периодичность y(x) и величину периода (T=1), то становится ясно, что её график на всей области определения представляет собой непрерывную линию в виде бесконечной череды примыкающих друг к другу полуокружностей.
Ответ
Комментарий
Отталкиваясь от полученного результата не представляет большого труда подобрать функцию, с аналогичным по виду графиком, но чтобы полуокружности были вывернуты «вверх». Для этого график y(x) нужно «перевернуть», умножив на –1, а затем «поднять», прибавив половину единицы:
Построение графика такой функции может быть предложено в качестве усложнённого варианта разобранной выше задачи.
Другие задачи, имеющиеся на канале, можно найти здесь.
↻ О пользе ассоциаций для запоминания информации.