Задание
Построить график функции:
y = arctg(tg x)
Решение
Найдём сначала область определения y(x) = arctg(tg x). Арктангенс определён при любом действительном значении аргумента, а тангенс не существует при x = π/2+πn (n∈ ℤ), из чего следует, что y(x) имеет смысл при x ≠ π/2+πn.
Тангенс и арктангенс – нечётные функции, поэтому
arctg(tg (–x)) = arctg(–tg x) = –arctg(tg x)
Таким образом, y(x) является нечётной (y(–x) = –y(x) ) и её график симметричен относительно начала координат.
Из периодичности тангенса следует, что выполняется равенство
arctg(tg (x + πn)) = arctg(tg x) (n∈ ℤ),
то есть y(x) также является периодической функцией с периодом T = π. Это означает, что для построения её графика достаточно построить его на отрезке значений аргумента длиной π, а затем его кратно периоду параллельно перенести вправо и влево вдоль оси абсцисс. С учётом нечётности y(x) удобно выбрать интервал –π/2 < x < π/2 – рассмотрим y(x) на нём. Арктангенс по определению – число от –π/2 др π/2, тангенс которого равен заданной величине. В y(x) аргументом арктангенса является tg x , а поскольку арктангенс – функция обратная тангенсу, это означает, что на рассматриваемом интервале выражение arctg(tg x) возвращает значение самого x. Иными словами при x ∈ (–π/2; π/2) имеем, что график y(x) полностью совпадает с графиком линейной функции y= x :
Остаётся принять во внимание периодичность y(x) и сделать вывод, что график функции y = arctg(tg x)представляет собой бесконечную череду линейных фрагментов, наклонённых под углом 45° по отношению к положительному направлению оси абсцисс.
Ответ
Комментарий
Ход решения рассмотренной выше задачи весьма сходен с разбором упражнения А-32. Чуть более «заковыристым» было построение графика из задачи А-31. В традиционной «тригонометрической четвёрке» функций синус / косинус / тангенс / котангенс неохваченной осталась только последняя в комбинации со своей обратной функцией:
y = arcsin(sin x)
y = arccos(cos x)
y = arctg(tg x)
y = arcctg(ctg x)
Построение такого графика можно предложить в качестве варианта для самостоятельного решения.
Другие задания, имеющиеся на канале, можно найти здесь:
См. также: