Задание
Построить график функции
Решение
Начнём с нахождения области определения заданной функции y(x). Её выражение будет иметь смысл если
1 + |x|·(| |x| – 1 | – 1) ⩾ 0
Перепишем это условие в виде
|x|·(| |x| – 1 | – 1) ⩾ –1
В задании А-64 было установлено, что неравенство
|x|·(| |x| – 1 | – 1) ⩾ a
верно при любом x, если a ⩽ –1. Из этого факта следует, что подкоренное выражение функции y(x) всегда будет неотрицательным и область её определения – всё множество действительных чисел. Проведём с y(x) ряд равносильных преобразований, раскрыв подмодульные выражения:
Полученное объединение из трёх систем означает следующее. При x ⩾ 1 график y(x) совпадает с графиком линейной функции y = x – 1 (рис. 1).
Когда x ⩽ –1, то выражение y(x) совпадает с y = –x – 1, график которой также представляет прямую линию. В случае же –1 < x < 1 функция y(x) описывает «верхнюю» половину окружности с центром в начале координат и радиусом, равным единице (см. разбор задания А-21).
Ответ
Комментарий
Решение задачи можно немного упростить, если обратить внимание на чётность y(x) (и, соответственно, на симметричность её графика относительно оси ординат), подобно тому, как это было сделано в разборе задания А-63. Если принять, что x ⩾ 0, то
Другие задания, имеющиеся на канале, можно найти здесь: