Задание
Найти значение интеграла
Решение
Построение графика подынтегральной функции
рассматривалось в упражнении А-44 (рис. 1), в котором (со ссылкой на задание А-43) говорилось, что y(x) определена при любом действительном x и было установлено следующее:
1) y(x) = 0 при x ∈ (–∞; –1]⋃[1; +∞)
2)
при x ∈ [–1; 1]
Для удобства обозначим искомый интеграл как I и представим в виде суммы:
Так как при x ∈ (–∞; –1] и при x ∈ [1; +∞) значение y(x) равно нулю, то
Таким образом
С учётом п. 2):
В соответствии со своим геометрическим смыслом определённый интеграл равен площади фигуры, ограниченной графиком подынтегральной функции и осью абсцисс. График y(x) при x ∈ [–1; 1] есть «верхняя» половина окружности
x² + y² = 1²,
следовательно, ограничиваемой фигурой является половина круга с радиусом R=1 и значение интеграла I равняется половине площади такого круга. Окончательно имеем:
I = ¹/₂·π·R² = ¹/₂·π·1² = π/2
Ответ
π/2
Другие задания, имеющиеся на канале, можно найти здесь:
