Задание
Дана система неравенств:
а) Изобразите на плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют данной системе.
б) Определите у получившейся фигуры координаты точек, наиболее удалённых от начала координат.
Решение
Изобразим множество точек, координаты которых удовлетворяют первому неравенству приведённой системы:
|y| ≥ x² – 1
Рассмотрим случай y ≥ 0, тогда
y ≥ x² – 1
Точки, координаты которых удовлетворяют получившемуся условию, находятся не ниже параболы – графика функции y = x² – 1, что с учётом условия рассматриваемого случая (y ≥ 0) выглядит следующим образом:
Теперь рассмотрим случай y < 0. Для него: –y ≥ x² – 1 или
y ≤ –x² + 1
Точки с координатами, соответствующими такому условию, находятся не выше параболы – графика функции y = –x² + 1, а с учётом условия y < 0 их совокупность выглядит так:
Множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству
|y| ≥ x² – 1
будет объединением рассмотренных двух случаев для разных знаков y:
Точки, координаты которых подходят для второго неравенства исходной системы |x| ≥ y² – 1 на координатной плоскости можно изобразить поворотом на 90° фигуры, изображённой на рис. 3:
Окончательное решение задачи будет представлять собой пересечение двух изображённых выше множеств:
Нетрудно видеть, что получившаяся фигура представляет собой четырёхлучевую звезду и внешне напоминает метательное оружие – сюрикен. Очевидно, что самыми удалёнными от начала координат точками такой фигуры будут концы лучей «звезды». В силу того, что фигура симметрична относительно как одной, так и другой оси координат, то будет достаточно найти хотя бы координаты конца какого-нибудь одного луча, а далее, меняя знаки у абсциссы и ординаты такой точки, можно будет получить координаты остальных трёх точек-концов лучей. В силу сказанного будем искать координаты точки-конца луча, находящегося в первом квадранте. Они будут являться одним из решений следующей системы уравнений:
Для решения этой системы подставим первое уравнение во второе:
x = (x² – 1)² – 1 ⇔ x = x⁴ – 2x² + 1 – 1 ⇔ x = x⁴ – 2x² ⇔
⇔ x⁴ – 2x² – x = 0 ⇔ x·(x³ – 2x – 1) = 0
Множитель x вынесен за скобки, так как у получившегося уравнения четвёртой степени имеется очевидный корень x₁ = 0. Для нахождения других корней необходимо решить следующее кубическое уравнение:
x³ – 2x – 1 = 0
Как известно, свободный член у подобных уравнений представляет собой произведение всех его корней, кроме того, один из этих корней для данного уравнения легко угадывается: x₂ = –1. Это означает, что многочлен x³ – 2x – 1 делится на x + 1 без остатка. Выполним это деление «уголком»:
Таким образом:
x³ – 2x – 1 = 0 ⇔ (x + 1)·(x² – x – 1) = 0
Теперь остаётся найти два оставшихся корня, решив квадратное уравнение:
x² – x – 1 = 0
По формуле для нахождения его корней получаем:
Все значения x для системы уравнений известны, найдём соответствующие значения y:
Ниже на рисунке изображены графики уравнений системы, решения которой представляют точки пересечения двух парабол:
Как видно, в первом квадранте ветви парабол пересекаются в точке
Следует отметить, что число
называется «золотым сечением» и обозначается греческой буквой φ («фи»). Таким образом самые удалённые от начала координат точки получившейся фигуры (четырёхлучевой звезды) будут такими:
(φ; φ), (–φ; φ), (–φ; –φ), (φ; –φ).
Ответ
Список других задач, имеющихся на канале, можно посмотреть здесь.
Перечень публикаций на канале
