Задание
Построить график уравнения:
tg y = tg x
Решение
Помня, что функция тангенса определена не для всех действительных чисел, преобразуем исходное уравнение:
(при последнем переходе применено тождество для синуса разности двух аргументов). Полученная дробь может быть равна нулю, когда sin (y – x) = 0, при этом cos x ≠ 0 и cos y ≠ 0. Иными словами исходное уравнение равносильно следующей системе, с которой также можно выполнить ряд преобразований:
Первое выражение в системе описывает серию уравнений:
…
y = x – 2π
y = x – π
y = x
y = x + π
y = x + 2π
…
На координатной плоскости графики их представляют собой множество прямых линий, наклонённых под углом 45° по отношению к положительному направлению оси абсцисс, и смещённых друг относительно друга по оси ординат на π (рис. 1).
Второе выражение системы описывает множество значений, которые не может принимать величина x в исходном уравнении (cos x ≠ 0). Графически это можно изобразить как бесконечную череду вертикальных линий, расположенных на расстоянии π друг от друга (рис. 2).
Аналогично, третье выражение в системе описывает множество значений, которые не может принимать величина y (cos y ≠ 0) и графически это выглядит как серия горизонтальных линий, где расстояние между соседними составляет π (рис. 3).
Для изображения графика заданного в условии уравнения необходимо на графике sin (y – x) = 0 «выколоть» точки его пересечений с линиями, соответствующими требованиям cos x ≠ 0 и cos y ≠ 0 (рис. 4).
Ответ
Комментарий
Выше было показано, что по ходу решения выполняется построение графика уравнения
sin(y – x) = 0
Этот этап может быть сформулирован для учащихся в виде отдельного более простого задания, предваряющего не только решение разобранной здесь задачи, но и упражнения А-10.
Другие задачи, имеющиеся на канале, можно найти здесь:
См. также: