Задание
Решите уравнение:
44[x]{x} = [x]
(под целой частью числа x, обозначающейся при помощи квадратных скобок [x], понимается наибольшее целое число, не превышающее заданное; дробная часть x обозначается фигурными скобками и определяется как разность между самим числом и его целой частью: {x} = x – [x]; область определения функций y=[x] и y = {x} – всё множество действительных чисел, к тому же y = {x} – периодическая функция с периодом, равным 1, а полуинтервал [0; 1) является областью её значений).
Решение
Преобразуем исходное уравнение:
44[x]{x} = [x] ⇔
44[x]{x} – [x] = 0 ⇔
[x]·(44{x} – 1) = 0
Произведение двух множителей равно нулю, когда хотя бы один из них равен нулю. На основании этого уравнение будет равносильно объединению следующих двух:
[x]·(44{x}– 1) = 0 ⇔
Решим каждое из них по отдельности.
1) [x] = 0
Из определения целой части числа следует, что нулевую целую часть имеют неотрицательные числа, которые не превосходят единицы. Таким образом решениями уравнения [x] = 0 будут являться все x, принадлежащие полуинтервалу:
x ∈ [0; 1)
2) 44{x} – 1 = 0
Перенесём единицу в правую часть уравнения, после чего поделим обе его части на 44. Получим:
{x} = ¹/₄₄
Как легко догадаться, простейшим решением данного уравнения является ¹/₄₄. Из периодичности функции дробной части вытекает, что любое число вида
x =¹/₄₄ + k,
где k принадлежит множеству целых чисел ℤ, также будет корнем уравнения 44{x} – 1 = 0.
Множество решений исходного уравнения будет представлять объединение множеств решений уравнений [x] = 0 и 44{x} – 1 = 0:
Заметим, что корень x =¹/₄₄ (случай, когда k = 0) соответствует как второму, так и первому выражению в объединении – он находится внутри полуинтервала [0; 1), поэтому при записи ответа на задачу эту точку можно из данного числового промежутка исключить.
Ответ
x = ¹/₄₄ + k (k ∈ ℤ), x ∈ [0; ¹/₄₄)⋃(¹/₄₄; 1)
Другие задания, имеющиеся на канале, можно найти здесь: