Задание
Докажите, что для любого действительного x выполняется тождество:
Решение
Для доказательства полезно заметить, что замена x на –x не влияет на вид тождества:
Это означает, что если тождество верно при x = a, где a – положительное число, то оно также будет верно и при x = –a. В связи с этим достаточно показать справедливость тождества при x ⩾ 0. В этом случае |x| = x и равенство немного упростится:
При неотрицательных x оба подмодульных выражения (x² – 1) и (x – 1) меняют знак при x = 1, поэтому рассмотрим два случая.
а) 0 ⩽ x < 1 :
⇔ x² – 1 = (x – 1 + 1)² – 1 ⇔ x² – 1 = x² – 1 ⇔ 0 = 0
Последняя полученная запись означает верность тождества при x ∈[0; 1).
б) x ⩾ 1 :
⇔ 0 = (0 + 1)² – 1 ⇔ 0 = 0
Полученные результаты означают верность тождества при x ∈ [0; +∞), из чего вытекает его справедливость при любом неотрицательном x, а из этого, в свою очередь, следует, что оно верно для любых действительных чисел.
q.e.d.
Другие задания, имеющиеся на канале, можно найти здесь:
Сведения о новых статьях блога можно найти в Telegram-канале Shuric_Himik