Найти в Дзене
ГлавнаяСтатьиПодборки
Закреплено автором
Широков Александр
НОВОСТИ КАНАЛА / 20.11.2025 Уважаемые читатели! Количество разборов решений заданий по алгебре, выложенных на канале, достигло сотни и планируется их дальнейшее увеличение. Чтобы сделать публикацию «Школьные задачи / Алгебра» менее громоздкой, из неё будут постепенно убраны тексты упражнений, но доступ к ним всё равно останется в виде ссылок в имеющемся там же перечне тематических серий задач. Кроме этого, темп опубликования новых заметок на канале будет несколько снижен – до «три статьи за две недели». Говорить о возврате к типовому режиму «одна публикация в неделю» пока рано – мне не хочется слишком затягивать процесс выкладыванию имеющегося готового материала. 22.09.2025 Сегодня начинается публикация серии заданий по алгебре, в которых требуется построение графика уравнения вида f(y)·f(x) = k . 01.09.2025: Сегодня начинается новый учебный год и поскольку у меня накопился заметный запас соответствующих материалов, готовых к выкладыванию в Сеть, то канал временно переходит в режим «две публикации в неделю». 18.08.2025: Сегодня начинается публикация серии разборов задач на построение графика уравнения вида f(y) = f(x), где под f понимается некоторая функция, причём не только из числа изучаемых в школьном курсе . Некоторые упражнения такого типа уже выкладывались ранее (см. например задание А-16), теперь же эту тему решено рассмотреть более подробно. 18.06.2025: Теперь есть Telegram-канал «Shuric_Himik (Широков Александр)», гдерегулярно выкладываются ссылки на новые публикации этого Дзен-блога. 26.05.2025: Я стараюсь придерживаться графика «одна публикация в неделю». Иногда количество готовых к обнародованию материалов оказывается таким, что начинает иметь смысл временное увеличение частоты публикаций. В таких случаях на канале в течение недели будут выкладываться в общий доступ по две заметки.
2 года назад
Широков Александр
Перечень публикаций на канале
176 · 5 лет назад
Статьи
Школьные задачи / Алгебра / А-107
Построить на координатной плоскости график уравнения: (y + 2/π·arcsin x)·(y² + x² – 2x) = 0 Первое, на что следует обратить внимание – уравнение как математическое выражение имеет смысл при выполнении условия –1 ⩽ x ⩽ 1, диктуемого ограничением на возможные значения аргумента арксинуса. Левая часть уравнения представляет собой произведение двух множителей, а произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда имеем: Последняя полученная запись означает, что график исходного уравнения представляет совокупность двух линий...
2 дня назад
Школьные задачи / Алгебра / А-106
На рисунке изображён график функции: Он пересекает ось абсцисс в точках (a; 0) и (c; 0). а в точке (0; b) имеет максимум. Выразите значения коэффициентов M, N, K через числа a, b, c. График y(x) имеет вид «кособокой галки». Данное в условии значение y(0) (точка (0; b) ) позволяет сразу найти K: b = M·0 + N·|0| + K ⇔ K = b Благодаря этому выражение функции можно переписать в виде y(x) = M·x + N·|x| + b По условию задачи a < 0, поэтому |a| = –a, а поскольку точка (a; 0) принадлежит графику y(x),...
5 дней назад
Школьные задачи / Алгебра / А-105
Задание На рисунке изображён график функции (A, B, C, D – положительные величины): Он представляет собой непрерывную ломаную линию, пересекающую ось абсцисс в точках (–m; 0) и (m; 0). Точки «излома» графика имеют координаты (–n; k), (n; k) и (0; p), причём последняя является максимумом y(x). Выразите величины коэффициентов A. B, C и D через числа m, n, k, p. Решение Рассмотрим поведение y(x). Эта функция является чётной, так как при замене x на –x её значение не меняется: y(–x) = C – D·|–x| – A·|–x...
1 неделю назад
Школьные задачи / Алгебра / А-104
Задание На рисунке изображён график функции (A, B, C – положительные величины): Он пересекает ось абсцисс в точках (–m; 0) и (m; 0), а на отрезке значений аргумента [–n; n] параллелен оси абсцисс – там y(x) имеет постоянное значение, равное k. Выразите величины коэффициентов A, B и C через числа m, n, k. Решение Рассмотрим поведение y(x). Эта функция является чётной, так как при замене x на –x её значение не меняется: y(–x) = A·|–x + B| + A·|–x – B| – C = A·|–(x – B)| + A·|–(x + B)| – C = = A·|–(x...
2 недели назад
Школьные задачи / Алгебра / А-103
Задание На рисунке изображён график функции (M, N – положительные величины): Он пересекает ось абсцисс в точках (–a; 0) и (a; 0). а в точке (0; b) имеет максимум. Выразите значения коэффициентов M и N через числа a и b. Решение График y = |x| имеет вид «галки». Соответственно график y = –|x| выглядит как перевёрнутая «галка» и такая функция имеет максимум. Отсюда легко заключить, что параметр B отвечает за величину сдвига графика y(x) по вертикали, а параметр M – за его «сжатие» (или «растяжение») по горизонтали...
2 недели назад
Школьные задачи / Алгебра / А-102
Докажите, что для любого действительного x выполняется тождество: Для доказательства полезно заметить, что замена x на –x не влияет на вид тождества: Это означает, что если тождество верно при x = a, где a – положительное число, то оно также будет верно и при x = –a. В связи с этим достаточно показать справедливость тождества при x ⩾ 0. В этом случае |x| = x и равенство немного упростится: При неотрицательных x оба подмодульных выражения (x² – 1) и (x – 1) меняют знак при x = 1, поэтому рассмотрим два случая...
3 недели назад
Школьные задачи / Алгебра / А-101
Докажите, что для любого действительного x выполняется тождество |x + 1| + |x – 1| – |x| – 1 = | |x| – 1 | Рассмотрим два варианта. 1) x ⩾ 0 В этом случае |x| = x , а x + 1 > 0 и потому |x + 1| = x + 1. Отсюда |x + 1| + |x – 1| – |x| – 1 = | |x| – 1 | ⇔ x + 1 + |x – 1| – x – 1 = |x – 1| ⇔ ⇔ x + 1 + |x – 1| – x – 1 = |x – 1| ⇔ 0 = 0 Равенство 0 = 0 после взаимного уничтожения всех слагаемых означает, что тождество выполняется для любого неотрицательного x. 2) x < 0 Здесь будет |x| = –x , при этом выражение x – 1 < 0 и |x – 1| = –(x – 1) = 1 – x...
1 месяц назад
Две серии задач для школьников: про общие черты в ответах к ним
На канале в рубрике «Школьные задачи» опубликованы две серии заданий по алгебре, где рассматривается построение графиков уравнений вида f(y) = f(x) и f(y)·f(x) = k (в качестве k чаще встречается ноль, но не только). Данные упражнения сравнительно простые, хотя некоторое «спотыкание» у учащихся могут вызвать задачи, где фигурируют обычно не рассматриваемые в школьном курсе функции типа сигнума sgn t (знак числа t), но при формулировании таких заданий обязательно даются разъяснения, позволяющие с решением справиться...
1 месяц назад
Школьные задачи / Алгебра / А-100
Построить на координатной плоскости график уравнения [|y|]·[|x|] = 3 (под целой частью числа t понимается наибольшее целое число, не превышающее заданное; её принято обозначать при помощи квадратных скобок: [t]; функция f(t) = [t] определена на всём множестве действительных чисел). Рассмотрим сначала вот такое неравенство a ⩽ |t| < b при условии, что 0 < a < b. Решим его, раскрыв модуль: Теперь можно перейти к основному заданию. Заметим, что поскольку модуль числа – неотрицательная величина, то целая часть неотрицательного числа также всегда больше или равна нулю...
1 месяц назад
Школьные задачи / Алгебра / А-99
Построить на координатной плоскости график уравнения [y]·[x] = 4 (под целой частью числа t понимается наибольшее целое число, не превышающее заданное; её принято обозначать при помощи квадратных скобок: [t]; функция f(t) = [t] определена на всём множестве действительных чисел). Заметим, что произведение двух целых величин a и b равно четырём в следующих случаях: a = 1, b = 4 a = 4, b = 1 a = 2, b = 2 a = –1,– b = 4 a = –4, b = –1 a = –2, b = –2 В связи с этим исходное уравнение будет равносильно...
1 месяц назад
Школьные задачи / Алгебра / А-98
Построить на координатной плоскости график уравнения [y]·[x] = k , где k – простое число. (под целой частью числа t понимается наибольшее целое число, не превышающее заданное; её принято обозначать при помощи квадратных скобок: [t]; функция f(t) = [t] определена на всём множестве действительных чисел). Произведение двух целых величин [y] и [x] может быть равно простому числу k в четырёх случаях: Ранее в задании А-94 рассматривалось построение множества точек, описываемого системами, подобными в полученном объединении (рис...
1 месяц назад
Школьные задачи / Алгебра / А-97
Построить на координатной плоскости график уравнения sgn y · sgn x = k , если: а) k = 0; б) k = 1; в) k = –1 (функция знака действительного числа t или «сигнум» обозначается как sgn t и принимает нулевое значение при t = 0, а при положительных и отрицательных значениях аргумента равна 1 и –1 соответственно). В соответствии с определением сигнум принимает только три возможных целых значения: 0, 1 и –1. а) k = 0 Уравнение в этом случае имеет вид: sgn y · sgn x = 0 Произведение двух величин равно нулю,...
1 месяц назад