Задание
Построить график функции
Решение
Прежде всего найдём область определения заданной функции y(x). Легко видеть, что её выражение имеет смысл, если
| 1 – |x| | ≠ 0 ⇔
1 – |x| ≠ 0 ⇔
|x| ≠ 1 ⇔
x ≠ ±1
Поскольку |–x| = |x|, то данная в условии задачи функция обладает свойством чётности:
y(x) = y(–x)
Благодаря этому для решения достаточно рассмотреть ситуацию, когда x ⩾ 0 (при этом будем иметь |x| = x , заодно помня, что x ≠ 1), а затем отразить полученный график в левую полуплоскость симметрично оси ординат. Выражение y(x) в этом случае упростится:
Раскроем оставшийся модуль:
Итак, на полуинтервале [0; 1) график y₁(x) (а равно и график y(x) ) представляет прямую горизонтальную линию y = 2, при x > 1 он есть прямая, совпадающая с осью абсцисс, в точке x = 1 функция не определена (рис. 1).
Для завершения построения остаётся «отзеркалить» график y₁(x) относительно оси ординат.
Ответ
Комментарий
В комментарии к задаче А-5 упоминалось о методе инфракрасной спектроскопии (способ исследования веществ) и используемой при этом специальной математической процедуре под названием «аподизация». Входе неё применяются функции, которые в некотором интервале имеют отличные от нуля значения, а вне его – обращаются в ноль. В разобранной выше задаче функция y(x) вполне бы подошла для выполнения так называемой «прямоугольной» аподизации, если б не один своеобразный недостаток в виде ограничений на возможные значения аргумента (x≠ ±1). При желании можно подобрать функцию, этим «дефектом» не отягощённую.. Вот, в той же задаче А-5 был построен график, изображённый на рис. 2, – возьмём описывающую его функцию за основу.
Сначала её нужно немного «принизить», чтобы у неё область значений оказалась в полуинтервале [0; 2), но при этом принимала значения, большие единицы. Добиться этого можно, например, умножением на две трети:
y = ²/₃·(| |x| – 1 | – (|x| – 1))
Далее просто возьмём целую часть от выражения (см. комментарий к задаче А-39):
y = [ ²/₃·(| |x| – 1 | – (|x| – 1)) ]
График получившейся функции изображен на рис. 3.
Она принимает ненулевые, равные единице,значения на промежутке [–¹/₄; ¹/₄]. Заменой x на ax ширину «ненулевой области» можно «регулировать». Так при a=¹/₄ :
она растянется вчетверо и станет отрезком [–1; 1].
Другие задания, имеющиеся на канале, можно найти здесь:
Сведения о новых статьях блога можно найти в Telegram-канале Shuric_Himik