Школьные задачи

На канале в рубрике «Школьные задачи» опубликованы две серии заданий по алгебре, где рассматривается построение графиков уравнений вида f(y) = f(x) и f(y)·f(x) = k (в качестве k чаще встречается ноль, но не только). Данные упражнения сравнительно простые, хотя некоторое «спотыкание» у учащихся могут вызвать задачи, где фигурируют обычно не рассматриваемые в школьном курсе функции типа сигнума sgn t (знак числа t), но при формулировании таких заданий обязательно даются разъяснения, позволяющие с решением справиться...

В процессе подготовки разборов задач для школьников как-то непроизвольно обращаешь внимание на возможность сделать ряд дополнительных выводов на основании используемых рассуждений, выкладок и результатов. Так было, например, в случае «Размышлений о скругленности и угловатости», затрагивающих группу сходных упражнений по геометрии. Вот и в этот раз оказалось, что из нескольких заданий по алгебре можно вывести ряд своеобразных соотношений. В задании А-57 выполнялось построение графика функции y = cos(arcsin(sin x)) (рис...

Весьма нередкой является ситуация, когда одна и та же задача может быть решена несколькими способами, демонстрирующими существование разных подходов и способов рассуждений. Вот и в рубрике канала, посвящённой упражнениям для школьников, некоторые мои уважаемые читатели оставляют комментарии, в которых предлагают свои варианты получения ответа, отличные от опубликованных...

Тот, кто хорошо помнит школьную математику, легко сможет назвать функции, обладающие свойством периодичности – синус, косинус, тангенс и котангенс. Некоторые, возможно, припомнят, что ещё есть секанс и косеканс. Существует, однако, функция, тоже обладающая периодичностью, но к тригонометрическим, как перечисленные выше, не относящаяся. Про неё иногда школьникам рассказывают на уроках – это дробная часть числа y = {x} . Я некоторое время назад «игрался» с этой функцией, получив в итоге целую россыпь...

Серия публикаций «Школьные задачи» продолжает расширяться и думается, что на момент написания этих строк не будет слишком большим преувеличением сказать о получившемся мини-задачнике по ряду школьных дисциплин, более-менее регулярно пополняющимся всё новыми заданиями с разборами их решения. Все предлагаемые задачи придуманы самостоятельно, но поскольку одни и те же идеи частенько приходят в голову разным людям, нельзя исключить ситуацию, когда задание, подобное имеющемуся у меня, могло быть уже составлено кем-то другим...

Идея написания этой заметки пришла в голову из-за желания сделать некоторое обобщение по ряду публикаций из раздела «Школьные задачи». В задании Г-10 был рассмотрен правильный n-угольник, вписанный в окружность радиуса R, и было установлено, что при бесконечном возрастании числа сторон отношение производной площади многоугольника по радиусу описанной окружности к периметру этого многоугольника имеет предел, равный единице: Было также указано, что данное обстоятельство согласуется с тем фактом, что производная площади круга по радиусу есть длина окружности, этот круг ограничивающей...