Задание
Построить график уравнения:
y² = sin⁴ x
Решение
Обе части уравнения неотрицательны, поэтому при извлечении квадратного корня из них также получится верное равенство (в конце приведённой цепочки преобразований для дальнейшего удобства применена формула понижения степени синуса):
Рассмотрим два варианта: когда y ≥ 0 и когда y < 0.
1) y ≥ 0
Тогда |y| = y и
y = ½ – ½cos 2x
График такой функции можно получить из графика косинусоиды y=cos x , выполнив с ним последовательно такие действия:
- «сжать» вдвое по оси абсцисс (из-за удвоенного аргумента косинуса 2x);
- «сжать» вдвое по оси ординат (из-за множителя ½ перед косинусом);
- перевернуть «вверх ногами» (из-за знака «минус» перед слагаемым с косинусом);
- поднять «вверх» на половину единицы (слагаемое ½ в выражении функции)
В результате получится следующая кривая:
2) y < 0
В этом случае |y| = –y и
y = –(½ – ½cos 2x) или y = ½cos 2x –½
График этой функции выглядит как зеркально отражённый вниз относительно оси абсцисс график для случая y ≥ 0 с «выколотыми» на этой оси точками (из-за того, что требование y < 0 является строгим неравенством):
Ответом в задаче будет объединение двух изображённых кривых. Иными словами, графиком заданного в условии уравнения является фигура, состоящая из двух «идущих в противофазе» синусоид, касающихся друг друга на оси абсцисс.
Ответ
Комментарий
Если после решения этой задачи принять во внимание ещё и ответы к упражнениям А-16, А-23 и А-24:
то можно сформулировать общее правило для построения графиков некоторых уравнений.
Если функция y = f(x) не принимает отрицательных значений, то график уравнения |y| = f(x) (или равносильного ему в этом случае уравнения y² = (f(x))²) можно получить из графика y = f(x) просто добавив его изображение, зеркально отражённое относительно оси абсцисс.
Правило позволяет предложить следующие усложнённые версии задач А-18, А-19, А-20 и А-21 (решаться они будут подобно заданиям А-23 и А-24):
В случае знакопеременной f(x) построение для |y| = f(x) выполняется аналогично, с той лишь разницей, что часть графика y = f(x), лежащая ниже оси абсцисс, предварительно «отсекается», а оставшееся – «отзеркаливается». В качестве примера здесь можно привести ответ к задаче А-11:
Другие задачи, имеющиеся на канале, можно найти здесь.