Задание
Докажите, что для любого действительного x выполняется тождество
|x + 1| + |x – 1| – |x| – 1 = | |x| – 1 |
Решение
Рассмотрим два варианта.
1) x ⩾ 0
В этом случае |x| = x , а x + 1 > 0 и потому |x + 1| = x + 1. Отсюда
|x + 1| + |x – 1| – |x| – 1 = | |x| – 1 | ⇔ x + 1 + |x – 1| – x – 1 = |x – 1| ⇔
⇔ x + 1 + |x – 1| – x – 1 = |x – 1| ⇔ 0 = 0
Равенство 0 = 0 после взаимного уничтожения всех слагаемых означает, что тождество выполняется для любого неотрицательного x.
2) x < 0
Здесь будет |x| = –x , при этом выражение x – 1 < 0 и |x – 1| = –(x – 1) = 1 – x. Кроме этого
|–x – 1| = |x + 1| . Следовательно
|x + 1| + |x – 1| – |x| – 1 = | |x| – 1 | ⇔ |x + 1| + 1 – x – (–x) – 1 = |–x – 1| ⇔
⇔ |x + 1|– x + x = |x + 1| ⇔ 0 = 0
Таким образом тождество справедливо и для отрицательных значений x. Из этого вытекает, что оно выполняется для любых действительных чисел x.
q.e.d.
Комментарий
Показать справедливость тождества можно иначе. Построим для этого график функции
g(x) = |x + 1| + |x – 1| – |x| – 1
Легко видеть, что она определена ∀ x ∈ ℝ. Заметим также, что эта функция является чётной. Действительно, заменим x на –x:
g(–x) = |–x + 1| + |–x – 1| – |–x| – 1 = |–(x – 1)| + |–(x + 1)| – |x| – 1 =
= |x – 1| + |x + 1| – |x| – 1 = g(x)
Чётность функции означает симметричность её графика относительно оси ординат, следовательно достаточно выяснить его вид при x ⩾ 0. В этом случае выражение функции упростится:
g(x) = |x + 1| + |x – 1| – |x| – 1 = x + 1 + |x – 1| – x – 1 = |x – 1|
Итак, при x ⩾ 0 график g(x) совпадает с графиком |x – 1|, который, в свою очередь, есть график |x| (он имеет вид «галки»), смещённый вправо на единицу (в сторону положительных значений абсцисс). За счёт симметрии график g(x) в целом представляет собой ломаную W‑образную линию.
Ранее, в заметке «О равносильных преобразованиях (для школьников)» было показано, что в точности такой же график имеет функция
y(x) = | |x| – 1 |
Таким образом при любых значениях аргумента y(x) = g(x), что и свидетельствует о справедливости исходного тождества.
Другие задания, имеющиеся на канале, можно найти здесь:
Сведения о новых статьях блога можно найти в Telegram-канале Shuric_Himik