Задание
Построить график функции:
y = cos(arcsin(sin x))
Решение
При решении этой задачи удобно опираться на ход и результаты рассуждений, применявшихся в упражнении А-31, где разбиралась функция y₁(x) = arcsin(sin x) (рис. 1).
Можно записать, что
y(x) = cos(y₁(x))
Поскольку y₁(x) определена при x ∈ ℝ, а областью её значений является отрезок [–π/2; π/2], то из этого следует, что область определения y(x) – также всё множество действительных чисел. Кроме этого, из периодичности y₁(x) напрямую следует и периодичность y(x): T= 2π. На основании этого достаточно рассмотреть построение графика этой функции на каком-либо отрезке длиной 2π. Пусть это будет [–π/2; 3π/2]. Разобъём его на два промежутка.
1) x ∈ [–π/2; π/2]
График y₁(x) здесь совпадает с графиком функции y = x, то есть на рассматриваемом интервале выполняется равенство
arcsin(sin x) = x
и потому можно записать, что
y(x) = cos x
Иными словами, график y(x) на данном числовом промежутке совпадает с косинусоидой (рис. 2).
2) x ∈ [π/2; 3π/2]
Для y₁(x) в этом случае выполняется равенство:
arcsin(sin x) = π – x ,
следовательно
y(x) = cos(π – x) = –cos x
Таким образом, на отрезке [π/2; 3π/2] график y(x) тоже является косинусоидой (рис. 2), только перевёрнутой «верх ногами» (график функции y = cos x , умноженный на –1 ).
С учётом периодичности y(x) для завершения построения достаточно полученный график кратно периоду параллельно перенести вправо и влево вдоль оси абсцисс.
Ответ
Другие задания, имеющиеся на канале, можно найти здесь: