Задание
Построить график уравнения:
{y} = {x}
(дробную часть числа x принято обозначать в фигурных скобках: {x}; функция y = {x} определена на всём множестве действительных чисел, область её значений – полуинтервал [0; 1), она является периодической функцией с периодом, равным 1).
Решение
Рассмотрим исходное уравнение, ограничив значения переменной y некоторым числовым промежутком. Сначала удобно взять полуинтервал [0; 1). Из смысла понятия дробной части числа следует, что на указанном множестве значений выполняется равенство
{y} = y
Иным словами на выбранном полуинтервале значений y исходное уравнение преобразуется к виду
y = {x}
Построение графика этой функции разобрано в решении задачи А-17 (рис. 1).
Теперь рассмотрим для значений y какой-нибудь другой полуинтервал [n; n + 1), где n – некоторое целое число. На графике функции y = {x} выберем произвольную точку с координатами (x₀;y₀). Для этой точки выражение
{y₀}={x₀}
есть верное числовое равенство. Из периодичности функции дробной части числа следует, что если n – целое, то
{y₀}={y₀ + n}
Это в свою очередь означает, что выражение
{y₀ + n}={x₀}
также является верным числовым равенством, поэтому точка с координатами (x₀; y₀ + n)тоже будет удовлетворять уравнению
{y}={x}.
Точка (x₀; y₀ + n) смещена по оси ординат на n единиц относительно (x₀; y₀) (рис. 2).
Таким образом получается, что в области значений y ∈ [n; n + 1) для любого значения x всегда найдётся «дублирующая» точка, то есть точка, смещённая по ординате на n единиц относительно графика функции y={x}.
Очевидно, что, во-первых, вся совокупность таких точек-«дубликатов» образует ничто иное как график функции
y={x} + n,
а, во-вторых, координаты его точек также будут удовлетворять условию {y}={x} (рис. 3).
Приведённые рассуждения позволяют утверждать, что исходное уравнение равносильно серии уравнений
y={x} + n, где n ∈ ℤ,
то есть графиком уравнения {y}={x} является бесконечная череда графиков функции
y={x} + n
Действительно, если найти дробную часть такого выражения, то получится:
{y} = {{x} + n} = {{x}} = {x}
Примечательно (рис. 4), что хотя график каждой отдельно взятой функции y={x} + n представляет совокупность полуотрезков, наклоненных под углом 45° по отношению к положительному направлению оси абсцисс, «концевые» точки графика функции y= {x} + n + 1 точно попадают на «проколы» y={x} + n, благодаря чему полуотрезки «сшиваются» воедино и образуют на плоскости семейство прямых линий, которое можно описать ещё и вот таким выражением: y = x + n (n ∈ ℤ).
Ответ
Комментарий
В разборе задачи А-26 фигурирует уравнение, графиком которого на координатной плоскости является серия прямых линий, наклонённых под углом 45° по отношению к положительному направлению оси абсцисс, и смещённых друг относительно друга по оси ординат на π:
«Плотность» расположения прямых линий можно увеличить, если модифицировать это уравнение так:
sin(πy – πx) = 0
На самом деле:
sin(πy – πx) = 0 ⇔
πy – πx = πk ⇔
y – x = k ⇔
y = x + k (k ∈ ℤ)
Выходит, что уравнения sin(πy – πx) = 0 и {y} = {x} имеют одинаковые графики, то есть множество решений одного полностью совпадает с множеством решений другого, на основании чего между ними допустимо поставить знак равносильности:
{y} – {x} = 0 ⇔ sin(πy – πx) = 0
Другие задания, имеющиеся на канале, можно найти здесь:
См. также:
