Задание
Найти значение интеграла
(под целой частью числа x понимается наибольшее целое число, не превышающее заданное; её принято обозначать при помощи квадратных скобок: [x]; функция y = [x] определена на всём множестве действительных чисел).
Решение
Выражение подынтегральной функции
выглядит весьма сложным. Попытки найти её первообразную (чтобы применить формулу Ньютона-Лейбница) вряд ли приведут к успеху, поэтому решение задачи лучше искать исходя из вида графика y(x) – построим его. Легко заметить, что y(x) есть произведение двух функций:
y(x) = F(x)·G(x) , где
F(x) = cos(πx/2) ,
Рассмотрим каждую из них по отдельности.
Так как π/2 ≈ 1,57 > 1 , то график F(x) представляет собой косинусоиду, «сжатую» в π/2 раз по горизонтали – в направлении оси абсцисс (рис. 1).
Заметим также, что F(x) принимает нулевые значения, если
πx/2 = π/2 + xk ⇔
πx = π + 2πk ⇔
x = 1 + 2k (k ∈ ℤ),
в частности F(1) = F(–1) = 0.
В комментарии к задаче А-70 было показано, как из функции
y = | |x| – 1 | – (|x| – 1)
(см. также задание А-5, где рассмотрено построение её графика) получается функция
которая равна единице, когда x ∈ [–¹/₄; ¹/₄] , и равна нулю при всех остальных значениях аргумента. Замена x на x/4, даёт G(x), график которой есть «растянутый» вчетверо в горизонтальном направлении график y₁ (рис. 1).
Поскольку G(x) = 1 при x ∈ [–1; 1], то
y(x) = F(x)·G(x) = F(x)·1 = cos(πx/2) ,
а при всех остальных значениях x
y(x) = F(x)·G(x) = F(x)·0= 0
Таким образом график y(x) представляет собой линию, изображённую ниже на рис. 2.
Обозначим искомый интеграл как I и представим в виде суммы:
Так как y(x) = 0 при x ∈ (–∞; –1]⋃[1; +∞), то
Значит
Теперь формула Ньютона-Лейбница стала вполне применима:
Ответ
4/π
Комментарий
Существуют функции, которые за пределами некоторого промежутка [–L; L], где L > 0. строго равны нулю, а внутри него описывают линии различного рода. Подобные функции ранее рассматривались в заданиях А-5 (ломаная прямая, рис. 3), А-4 (парабола, рис. 4) и А-44 (полуокружность, рис. 5) – в их случае L равняется единице. При подборе выражения для них приходится использовать определённое сочетание исходной функции (например квадратичной в случае А-4) и модуля.
К рассматриваемой группе функций относится и фигурирующая выше в задаче G(x), принимающая на [ –1; 1] единичное значение. Хотелось бы обратить внимание на ряд моментов, с этой функцией связанных.
1) G(x) легко модифицировать до G*(x, L), которая принимает единичные значения на [–L; L]:
2) G*(x, L) (и её частный случай G(x) ) можно описать как кусочно заданную функцию:
Разумеется, такое описание проще для восприятия, однако единое математическое выражение, несмотря на его громоздкость, описывает функцию целиком, без всяких «если», и может быть спокойно размещено под знаком интеграла.
3) При помощи G*(x, L) простым умножением можно легко «создавать» другие функции, которые «обнуляются» вне отрезка [–L; L] – в рассмотренной выше задаче это было продемонстрировано на примере косинусоиды. Не всегда, правда, будет получаться сплошная линия, без разрывов – см. рис. 6.
4) Разобранную выше задачу можно рассматривать как демонстрацию сведения пределов интегрирования от –∞ до +∞ к конкретному отрезку [–1; 1], благодаря чему функции типа G*(x, L) имеют важное практическое применение.
При исследовании химических веществ методом ИК-Фурье-спектроскопии в ходе компьютерной обработки входящего с прибора сигнала возникает потребность в численном интегрировании функции в пределах от –∞ до +∞. Разумеется, технически такое невозможно, поэтому выполняется так называемая аподизация – умножение функции на другую (именуемую аподизирующей), которая вне некоторого интервала принимает только нулевые значения. Благодаря такому приёму интегрирование с приемлемой для практики точностью допустимо проводить не на всей числовой оси, а на промежутке [–L; L].
Вариантов аподизации существует довольно много и про G*(x, L) можно сказать, что она описывает «прямоугольную» (а ещё бывает «треугольная», «гауссовская» и т. п.). И хотя я никогда не видел исходного кода программного обеспечения, управляющего работой какого-либо современного ИК-Фурье-спектрометра, справедливости ради хочу заметить, что вряд ли программисты для прямоугольной аподизации воспользуются выражением функции, приведённым в п. 1, ведь оно довольно сложное и, например, в нотации языка VBA (Visual Basic for Applications) это описывалось бы как-то так:
Function RectanApod (byVal x as Double, byVal L as Double) as Double
RectanApod = Int(2 / 3 * (Abs(Abs(x / (4 * L)) - 1) - (Abs(x / (4 * L)) - 1)))
End Function
Гораздо легче функцию RectanApod реализовать без вызова вычисления модуля Abs и целой части числа Int, а также без выполнения ряда арифметических действий (вычитания, умножения и деления) – фактически воспользоваться приведённым в п. 2 описанием кусочно заданной функции:
Function RectanApod (byVal x as Double, byVal L as Double) as Double
If x < -L Or x > L Then RectanApod = 0 Else RectanApod = 1
End Function
В заключение стоит также отметить, что предложенное в п. 1 выражение для G*(x, L), вовсе не единственно возможное. Точно таким же поведением обладает, например,функция
Другие задания, имеющиеся на канале, можно найти здесь:
Сведения о новых статьях блога можно найти в Telegram-канале Shuric_Himik
