Задание
Построить график функции, если a > 1:
y(x) = a·sin(arcsin(x/a))
Решение
Функция синуса определена для любого действительного значения аргумента, функция же арксинуса имеет смысл, если её аргументом является число от –1 до 1, следовательно областью определения y(x) будут все x, удовлетворяющие условию
–1 ⩽ x/a ⩽ 1
Отсюда следует, что y(x) имеет смысл если x ∈ [–a; a].
В задании А-54 уже рассматривалась функция
y₁(x) = sin(arcsin x)
В ней аргументом синуса является арксинус, а с учётом того, что он – функция обратная синусу, то при –1 ⩽ x ⩽ 1 выражение sin(arcsin x) возвращает значение самого x. Иными словами, на отрезке x ∈[–1; 1]
y₁(x) = sin(arcsin x) = x,
то есть совпадает с графиком линейной функции y = x (рис. 1).
Зная это, не составляет труда построить график
y₂(x) = sin(arcsin(x·1/a))
– он получается из графика y₁(x) «растяжением» последнего в a раз вдоль оси абсцисс (рис. 1). Сходным образом – растяжением в a раз вдоль оси ординат – получается график y(x) из y₂(x) (рис. 2).
Выходит, что искомый график функции y(x) на области её определения (x ∈ [–a; a]) представляет отрезок, совпадающий с графиком y = x . Из сказанного вытекает, что при –a ⩽ x ⩽ a (a > 1) выполняется равенство:
a·sin(arcsin(x/a)) = x
Ответ
Комментарий
Справедливость равенства a·sin(arcsin(x/a)) = x можно показать иным способом. Найдём производную функции y(x):
( a·sin(arcsin(x/a)) )' = a·( sin(arcsin(x/a)) )' = a·cos(arcsin(x/a))·(arcsin(x/a))' =
(в конце приведённых преобразований использовано равенство
Итак:
( a·sin(arcsin(x/a)) )' = 1 и (x)' = 1
Если производные двух функций равны, то это означает, что сами функции отличаются друг от друга на постоянное число C:
a·sin(arcsin(x/a)) = x + C
Для нахождения C положим x = 0, тогда
a·sin(arcsin(0/a)) = 0 + C ,
откуда C = 0.
Другие задания, имеющиеся на канале, можно найти здесь: