Задание
Изобразить множество точек, координаты которых удовлетворяют условию:
y² = x²
Решение
Выполним равносильные преобразования:
y² = x² ⇔ y² – x² = 0 ⇔ (y – x)·(y + x) = 0 ⇔
Как видно, исходному условию задачи равносильно объединение двух выражений. Первое (y = x) на координатной плоскости может быть представлено как прямая линия, проходящая через начало координат и образующая с положительным направлением оси абсцисс угол 45°. Второе выражение (y = –x) также можно представить как проходящую через начало координат прямую, образующую с положительным направлением оси абсцисс угол 135°.
Таким образом в декартовой прямоугольной системе координат множество точек, координаты которых удовлетворяют требованию y² = x², представляет собой две пересекающиеся прямые, образующие крестообразную фигуру.
Ответ
Комментарий
Задачу можно решить иначе. Благодаря неотрицательности правой и левой частей в исходном условии (y² = x²) можно из них извлечь квадратный корень и получить равносильное выражение: |y| = |x|. В этом случае для изображения требуемого множества точек на координатной плоскости нужно рассмотреть два варианта:
1) y ≥ 0
В этом случае y = |x| и получается график функции модуля числа, имеющий вид «галки» (рис. 1).
2) y < 0
Тогда –y = |x| или, что тоже самое, y = –|x|. График такой функции выглядит как «перевёрнутая галка» с «выколотой» точкой (0; 0) (рис. 2).
При объединении графиков также получается крестообразная фигура, являющаяся множеством точек, координаты которых соответствуют требованию условий задачи.
Другие задачи, имеющиеся на канале, можно найти здесь.
У нас на высшем уровне озаботились ситуацией с демографией и похоже, что всерьёз. На тему динамики населения отдельно взятой страны у меня есть давнишняя публикация.
