Задание
Построить график функции:
y = sin(arccos(cos x))
Решение
При решении задачи удобно опираться на ход и результаты рассуждений, из упражнения А-32, где разбиралась функция y₁(x) = arccos(cos x) (рис. 1).
Можно записать, что
y(x) = sin(y₁(x))
Поскольку y₁(x) определена при x ∈ ℝ, а областью её значений является отрезок [0; π], то из этого следует, что область определения y(x) – также всё множество действительных чисел. Кроме этого, из периодичности y₁(x) напрямую следует и периодичность y(x): T = 2π. На основании этого достаточно рассмотреть построение графика этой функции на каком-либо отрезке длиной 2π. Обязательно стоит обратить внимание и на то, что из чётности y₁(x) вытекает и чётность y(x), то есть её график симметричен относительно оси ординат, поэтому удобно рассмотреть отрезок [–π; π] и начать построение с промежутка значений аргумента [0; π].
При x ∈ [0; π] выполняется равенство:
arccos(cos x) = x,
и потому можно записать, что
y(x) = sin x
Иными словами, график функции на промежутке [0; π] совпадает с синусоидой, а с учётом чётности это позволяет изобразить график y(x) при x ∈ [–π; π] (рис. 2).
Благодаря периодичности y(x)для завершения построения достаточно полученный график кратно периоду параллельно перенести вправо и влево вдоль оси абсцисс.
Ответ
Другие задания, имеющиеся на канале, можно найти здесь: