Задание
Построить на координатной плоскости график уравнения
yⁿ = xⁿ ,
если: а) n = 2k ; б) n = 2k – 1 ; в) n = –2k ; г) n = 1 – 2k (k – натуральное число).
Решение
а) Запись n = 2k фактически означает натуральные чётные значения степени. Пусть k = 1, тогда n = 2 и исходное уравнение принимает вид y² = x². В случае, когда k > 1 (n ⩾ 4) можно провести следующие равносильные преобразования:
yⁿ = xⁿ ⇔ y²ᵏ = x²ᵏ ⇔ (y²)ᵏ= (x²)ᵏ ⇔
⇔ y² = x²
(величины y² и x² являются неотрицательными, поэтому на третьем переходе можно извлечь корень степени k из обеих частей уравнения, не изменив его смысла). Ранее в задании А-16 рассматривалось построение графика уравнения y² = x² (и равносильного ему |y| = |x| ). Итак,в случае чётного n
yⁿ = xⁿ ⇔ y² = x²,
следовательно, эти уравнения имеют и совпадающие множества решений, на координатной плоскости они изображаются как совокупность линий графиков функций y = x и y = –x.
б) Ситуация, когда n = 2k – 1 подразумевает натуральные нечётные значения степени.
Если k = 1, то n = 2·1 – 1 = 1 и уравнение преобразуется к виду y = x. В случае k > 1 (n ⩾ 3) из обеих частей уравнения можно извлечь корень степени n, получив равносильное равенство:
yⁿ = xⁿ ⇔
⇔ y = x
Таким образом, при нечётных значениях n получается, что
yⁿ = xⁿ ⇔ y = x ,
следовательно, графиком заданного в условии задачи уравнения является прямая линия – график функции y = x .
в) Проведём с уравнением равносильные преобразования:
yⁿ = xⁿ ⇔ y⁻²ᵏ = x⁻²ᵏ ⇔
(после третьего перехода указаны требования к x и y, так как после второго перехода y²ᵏ и x²ᵏ оказываются стоящими в знаменателях, которые не должны быть равны нулю). В конечной системе уравнений получилось равенство y²ᵏ = x²ᵏ . Оно идентично разобранному в п. а), следовательно, в рассматриваемом случае уравнение имеет такой же график, но у него «выколота» точка (0; 0).
г) Выполним равносильные преобразования для данного случая:
yⁿ = xⁿ ⇔ y¹⁻²ᵏ = x¹⁻²ᵏ ⇔ y⁻⁽²ᵏ⁻¹⁾ = x⁻⁽²ᵏ⁻¹⁾ ⇔
(после четвёртого перехода указаны требования к x и y, так как после третьего перехода y²ᵏ⁻¹ и x²ᵏ⁻¹ оказываются стоящими в знаменателях, которые не должны быть равны нулю). В конечной системе уравнений получилось равенство y²ᵏ⁻¹ = x²ᵏ⁻¹ , идентичное рассмотренному в п. б), следовательно, здесь у уравнения будет такой же график, только с «выколотой» точкой (0; 0).
Ответ
а)
б)
в)
г)
Другие задания, имеющиеся на канале, можно найти здесь:..
Сведения о новых статьях блога выкладываются в Telegram: Shuric_Himik
