Задание
Найти значение интеграла
Решение
В упражнении А-5 выполнялось построение графика функции
y(x) = | |x| – 1|– (|x| – 1)
Тогда было установлено следующее (рис. 1):
1) y(x) = 0 при x ∈ (–∞; –1]⋃[1; +∞)
2) y(x) = 2x + 2при x ∈ [–1; 0]
3) y(x) = 2– 2x при x ∈ [0; 1]
Обозначим для удобства
Представим значение I в виде суммы:
Так как при x ∈ (–∞; –1] и при x ∈ [1; +∞) значение y(x) равно нулю, то из этого следует, что
Таким образом
Вычислить последний интеграл можно разными способами.
Способ 1
Представим I как сумму:
С учётом пп. 2) и 3) (см. выше) можно записать:
Для вычисления этих интегралов воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница:
= (0² + 2·0) – ((–1)²+ 2·(–1)) + (2·1 – 1²) – (2·0 – 0²) = 2
Способ 2
В соответствии со своим геометрическим смыслом интеграл I равен площади фигуры, ограниченной графиком функции y(x) и осью абсцисс. Из рис. 1 видно, что данная фигура представляет собой равнобедренный треугольник с основанием 2 и высотой 2. Отсюда
I = ¹/₂·2·2 = 2
Ответ
2
Комментарий
Существует и третий способ вычисления интеграла
Функцию y(x) на отрезке [–1; 1] можно представить в виде
y = 2 – 2·|x|
Поскольку первообразная модуля есть (C – произвольное число)
то имеем
= (2·1 – 1·|1|) – (2·(–1) – (–1)·|–1|) = 2
Другие задания, имеющиеся на канале, можно найти здесь:
См. также: