Задание
При каких значения параметра a неравенство
|x|·(| |x| – 1 | – 1) ⩾ a
выполняется при любом значении x ?
Решение
Проведём с неравенством равносильные преобразования:
В приведённых записях переход (1) представляет рассмотрение разных знаков подмодульного выражения |x| – 1 . На стадии (2) расписано решение неравенства |x| ⩾ 1, этап (3) – замена системы из неравенства и объединения неравенств на объединение из двух систем. С перехода (4) выполняется выделение полного квадрата в неравенствах x² – 2x ⩾ a и x² + 2x ⩾ a.
Далее удобнее рассмотреть каждую из трёх систем получившегося объединения по отдельности.
а) x ⩾ 1
При таких значения переменной x исходное неравенство преобразуется к виду
(x – 1)² – (1 + a) ⩾ 0 ,
где левая его часть есть разность двух чисел: (x – 1)² и (1 + a). В рассматриваемом случае (x ⩾ 1) уменьшаемое (x – 1)² всегда принимает значения большие или равные нулю. Значит, чтобы вся разность
(x – 1)² – (1 + a)
всегда была неотрицательной необходимо, чтобы вычитаемое (1 + a) было меньше нуля или хотя бы равным ему:
1 + a ⩽ 0
Отсюда вытекает, что для x ⩾ 1 исходное неравенство будет выполняться в случае если
a ⩽ –1
б) x ⩽–1
Здесь исходное неравенство может быть представлено как
(x +1)² – (1 + a) ⩾ 0 ,
где слева стоит двух чисел: (x +1)² и (1 + a). Если x ⩽–1 , то уменьшаемое (x + 1)² всегда принимает значения большие или равные нулю. Значит, чтобы разность
(x +1)² – (1 + a)
всегда была неотрицательной нужно потребовать, чтобы вычитаемое (1 + a) было меньше или равно нулю:
1 + a ⩽ 0 ,
то есть если x ⩽–1, то исходное неравенство будет гарантировано выполняться в случае, когда
a ⩽ –1.
в) –1 < x < 1
В этом случае исходное неравенство можно преобразовать к виду
–x² ⩾ a
Из условия –1 < x < 1 вытекает, что
–1 < –x² ⩽ 0 ,
а также то, что неравенство –x² ⩾ a (как и исходное неравенство) всегда будет справедливым, если a ⩽ –1.
Таким образом из рассмотренных рассуждений вытекает, что при a ⩽ –1 приведённое в условии задачи неравенство всегда будет справедливым для любых значений x.
Ответ
a ⩽ –1
Комментарий
Задачу можно решить графически. Для этого следует построить график функции
y₁(x) = |x|·(| |x| – 1 | – 1) ,
а затем определить, при каких значениях a точки y₁(x) оказываются не ниже линии
y₂(x) = a
Ранее в задании А-63 рассматривалось построение графика функции
y₀(x) = 1 + |x|·(| |x| – 1 | – 1)
Если его «спустить вниз» на единицу (сдвинуть в сторону отрицательных значений ординат), то как раз получится график y₁(x) (рис. 1), из которого видно, что все его точки не имеют ординат, меньших –1. Отсюда напрямую вытекает ответ к задаче: a ⩽ –1.
Другие задания, имеющиеся на канале, можно найти здесь: