Задание
Разложить на множители: m⁵ + m⁴n + m³n² + m²n³ + mn⁴ + n⁵
Решение
В предложенном многочлене нетрудно заметить, что каждое последующее слагаемое можно получить из предыдущего умножением на n/m. Иными словами исходное выражение удобно рассматривать как сумму первых шести членов геометрической прогрессии, первый член которой равен a₁ = m⁵, а знаменатель q = n/m. На основании этого выражение можно преобразовать, воспользовавшись формулой суммы первых k членов такой прогрессии:
Рассмотрим отдельно выражение m⁶ – n⁶ и разложим на множители его:
(1): m⁶ – n⁶ = (m³)² – (n³)²
(2): (m³)² – (n³)² = (m³ – n³)·(m³ + n³)
(3): (m³ – n³)·(m³ + n³)= (m – n)·(m² + mn + n²)·(m + n)·(m² – mn + n²)
Здесь:
(1) – в соответствии со свойствами степеней шестые степени чисел представлены как квадраты их кубов (a⁶ = (a³)²);
(2) – разложение получившейся разности квадратов;
(3) – преобразование по формулам сокращённого умножения разности и суммы кубов.
Отсюда следует:
Таким образом получается, что искомым разложением на множители будет такое:
m⁵ + m⁴n + m³n² + m²n³ + mn⁴ + n⁵ = (m + n)(m² + mn + n²)(m² – mn + n²)
Ответ
(m + n)(m² + mn + n²)(m² – mn + n²)
Комментарий
Ученикам, знакомым с общей формулой разложения на множители выражения aᵏ – bᵏ:
aᵏ – bᵏ = (a – b)(aᵏ⁻¹ + aᵏ⁻²b + aᵏ⁻³b² + ... + a²bᵏ⁻³ + abᵏ⁻² + bᵏ⁻¹)
проще сразу догадаться умножить и поделить исходный многочлен на (m – n), «срезав путь» к решению:
Учителям математики рассмотренное задание можно использовать как есть, а можно на его основе составить целый ряд новых, подставив вместо одной переменной конкретные числа. Вот несколько вариантов:
1) m⁵ + 2m⁴ + 4m³ + 8m² + 16m + 32
2) a⁵ + 3a⁴ + 9a³ + 27a² + 81a + 243
3) x⁵ + 0,1x⁴ + 0,01x³ + 0,001x² + 0,0001x + 0,00001
Другие задачи, имеющиеся на канале, можно найти здесь.