Задание
Построить график функции
(дробную часть числа x принято обозначать в фигурных скобках: {x}; функция y={x} определена на всём множестве действительных чисел, область её значений – полуинтервал [0; 1), она является периодической функцией с периодом, равным 1).
Решение
Поскольку 0 ≤ {x} < 1, то из этого следует, что
0 ≤ {x}² < 1,
а значит (1 – {x}²) > 0 при любом действительном x. Отсюда следует, что функция
также определена на всём множестве действительных чисел.
Для периодической функции f(x) с периодом T, выполняется следующее равенство:
f(x) = f(x + kT),
где k – целое число. В частности для функции дробной части числа (T = 1):
{x} = {x + k}
Из этого равенства вытекает, что
то есть y₁(x) также является периодической функцией с периодом T = 1. Построим её график. У целых чисел дробная часть по определению нулевая, следовательно:
Примечательно, что длина отрезка на оси абсцисс между точками x = 0 и для x=1 равна единице, и это как раз составляет период T функции y₁(x).
В соответствии со смыслом самого понятия «дробная часть числа» на интервале (0; 1) справедливо следующее равенство:
{x} = x,
поэтому при 0 < x < 1 график y₁(x) полностью совпадает с графиком функции
Чтобы понять, как именно выглядит график y₂(x), проведём равносильные преобразования выражения функции, помня, что значение квадратного корня неотрицательно, как и подкоренное выражение:
Выражение x² + y² = 1 есть уравнение окружности единичного радиуса с центром в начале координат. С учётом требования y ≥ 0 получается, что график функции y₂(x) в области её определения (–1 ≤ x ≤ 1) представляет собой верхнюю половину упомянутой окружности, а на интервале 0 < x < 1 это будет дуга в четверть окружности с «выколотыми» точками на её концах (рис. 1).
Отметим на графике ещё две точки, соответствующие значениям y₁(0) и y₁(1) (рис. 2).
Если теперь учесть периодичность y₁(x) и величину периода (T = 1), то становится ясно, что её график на всей области определения представляет собой бесконечную череду повторяющихся дуг окружности с бесконечным числом точек разрыва в местах, соответствующих целым значениям аргумента (рис. 3).
Далее построим график функции
Он получается из графика y₁(x) смещением последнего вдоль оси ординат на половину единицы(т. е. в сторону отрицательных значений ординаты) (рис. 4).
Для построения графика функции
достаточно все точки графика y₃(x), лежащие в третьем и четвёртом квадрантах (т. е. имеющие отрицательные значения ординаты), зеркально отразить относительно оси абсцисс в полуплоскость положительных значений ординат. Получившийся результат представляет собой непрерывную (без точек разрыва) «зубчатую» линию. Из графика также видно, что функция y(x) обладает периодичностью (T = 1).
Ответ
Комментарий
Серия публикаций «Школьные задачи» берёт своё начало из моей личной симпатии к построению графиков функций. Как уже отмечалось в комментарии к задаче А-17, тема функции дробной части числа y = {x} не коснулась меня в школьные годы, хотя это просто кладезь для создания весьма интересных упражнений, результатом которых является изображение сложных кривых, заданных относительно простыми математическими выражениями.
О вкусах, конечно, не спорят, но я нахожу особую красоту как в графике, построенном в разобранной выше задаче, так и в графиках из заданий А-17, А-18, А-19 и А-20:
Справедливости ради стоит отметить, что решаются указанные задачи довольно однотипно, да и форма получившихся кривых тоже вполне однообразная – «зубчатая». Любопытно, что в одном учебнике при объяснении подхода к построению графиков периодических функций мне попалась вот такая картинка:
В тексте книги нет информации, график какой именно функции изображён на иллюстрации и скорее всего он имеет чисто схематический характер, тем не менее сложно не обратить внимание на некоторое визуальное сходство его с ответом к разобранной здесь задаче.
Другие задачи, имеющиеся на канале, можно найти здесь.
12 апреля 1961 года благодаря научно-техническому прогрессу, базирующемуся на материалистических принципах, впервые в истории всего человечества советский космонавт Юрий Алексеевич Гагарин на космическом корабле «Восток-1» совершил орбитальный полёт вокруг планеты Земля.
С днём космонавтики! С праздником, товарищи! Ура!
По такому замечательному поводу могу предложить составленную на свой собственный вкус подборку музыкальных композиций, так или иначе связанных с космической тематикой (отыскать указанные ниже песни в Сети для онлайн-прослушивания не составляет большого труда):
01. Трава у дома (кавер-версия) / Приключения Электроников
02. Земное притяжение / Комплексные числа
03. Неизбежность / Комплексные числа
04. Над Замлёю алеет закат / Комплексные числа
05. Домой / CosmoCats
06. Космос / Элизиум
07. Ослепительный мир / Элизиум
08. Звездная колыбельная / Элизиум
09. Обратная Сторона Луны / Элизиум
10. На Марс / Элизиум
11. Лунные моря / Элизиум
12. Планета Земля / Элизиум
13. Космонавты / Ляпис Трубецкой
14. Космонавт / Люмен
15. Алиса / Ростислав Чебыкин
