Задание
Построить график функции:
y = arcsin(sin x) + arccos(cos x)
Решение
Построение графиков функций y₁(x) = arcsin(sin x) и y₂(x) = arccos(cos x) рассматривалось ранее в упражнениях А-31 и А-32 соответственно. Оба графика представляют собой ломаные линии, состоящие из прямолинейных фрагментов (рис. 1, 2).
В нашем случае требуется построить график функции
y(x) = y₁(x) + y₂(x)
Так как y₁(x) и y₂(x) определены при x ∈ ℝ, то областью определения y(x) тоже является всё множество действительных чисел.
Легко заметить, что
arcsin(sin(x+2πn))+ arccos(cos(x+2πn)) = arcsin(sin x) + arccos(cos x), где n ∈ ℤ
Таким образом y(x+2πn) = y(x) и заданная функция является периодической с периодом T = 2π. Для построения её графика достаточно построить его на отрезке значений аргумента длиной 2π, а затем кратно периоду параллельно перенести его вправо и влево вдоль оси абсцисс. Пусть это будет отрезок [0; 2π].
Зная характер линий графиков y₁(x) и y₂(x) удобно отрезок [0; 2π] разбить на четыре отрезка и рассмотреть поведение y(x) = y₁(x) + y₂(x) на каждом из них по отдельности.
1) x ∈ [0; π/2]
На этом отрезке графики y₁(x) и y₂(x) совпадают с графиком функции y = x, следовательно, в данном случае y(x) = x + x = 2x.
2) x ∈ [π/2; π]
На этом числовом промежутке y₂(x) совпадает с графиком функции y = x, а y₁(x) совпадает с y = π – x, значит y(x) = π – x + x = π.
3) x ∈ [π; 3π/2]
Здесь y₁(x) = π – x , а y₂(x) совпадает с y = 2π – x . Отсюда y(x) = π – x + 2π – x =
= 3π – 2x .
4) x ∈ [3π/2; 2π]
В данном случае y₁(x) = x – 2π , а y₂(x) = 2π – x, тогда y(x) = x – 2π + 2π – x = 0.
Изобразим полученные результаты на координатной плоскости (рис. 3).
Теперь остаётся принять во внимание периодичность y(x) из которой следует, что график функции
y = arcsin(sin x) + arccos(cos x)
представляет собой бесконечную ломаную линию, состоящую из трапецевидных фрагментов.
Ответ
Комментарий
То, что графики функций y₁(x) = arcsin(sin x) и y₂(x) = arccos(cos x) действительно состоят из прямолинейных фрагментов, можно показать способом, отличным от описанного ранее в задачах А-31 и А-32. Рассмотрим его на примере y₁(x). Найдём производную этой функции:
Для нахождения конкретных значений производной раскроем модуль:
Если говорить проще, то y'₁(x) равна единице, когда cos x > 0, и равна –1, если cos x < 0. В точках, когда cos x = 0 функция arcsin(sin x) производной не имеет.
Рассмотрим теперь какую-нибудь область значений аргумента. Пусть это будет интервал (π/2; 3π/2). На нём y'₁(x) = –1. Вообще
∫(–1)dx = –x + C
(C – константа интегрирования, т. е. произвольное постоянное число). Данное обстоятельство как раз и говорит о том, что функция arcsin(sin x) на рассматриваемом интервале ведёт себя именно как линейная функция, ведь если производные двух функций равны (а (–x + C)' = –1, как и y'₁(x)), то их первообразные отличаются друг от друга на постоянную величину. В рассматриваемом конкретном случае при x ∈ (π/2; 3π/2) величина C = π и
arcsin(sin x) = –x + π
Другие задания, имеющиеся на канале, можно найти здесь:
См. также:
