Задание
Решите уравнение:
[3{x}² + 8{x} – 3] = 0
(под целой частью числа x, обозначающейся при помощи квадратных скобок [x], понимается наибольшее целое число, не превышающее заданное; дробная часть x обозначается фигурными скобками и определяется как разность между самим числом и его целой частью: {x} = x – [x]; область определения функций y=[x] и y={x} – всё множество действительных чисел, к тому же y = {x} – периодическая функция с периодом, равным 1, а полуинтервал [0; 1) является областью её значений).
Решение
Выполним замену переменной:
t = {x}
Исходное уравнение тогда перепишется в виде
[3t² + 8t – 3] = 0
Целая часть квадратного трёхчлена 3t² + 8t – 3 равна нулю в случае, если его значение находится на промежутке [0; 1). Получается, что уравнение равносильно системе:
[3t² + 8t – 3] = 0 ⇔
Сначала решим каждое из квадратных неравенств по отдельности методом интервалов. Для этого запишем соответствующие квадратные уравнения и отыщем у них корни.
Перейдём далее к квадратным неравенствам:
Теперь можно заняться решением системы – сделаем это графически (рис. 1).
Из рисунка видно, что на числовой прямой множество общих точек для обоих неравенств можно описать как объединение двух полуинтервалов:
Возвращаясь к старой переменной получаем:
Функция дробной части числа принимает только неотрицательные значения, следовательно, первое двойное неравенство объединения не выполняется ни при каких x:
Числа
– положительные, при этом они меньше единицы, следовательно, последнее полученное неравенство как минимум имеет решение, так как {x} может принимать указанные значения. Из смысла дробной части следует, что любое число из полуинтервала
при подстановке его вместо переменной x обращает выражение
в верное числовое неравенство. Если учесть периодичность функции {x}, то получается, что решение неравенства можно записать в виде:
Как нетрудно догадаться, корни исходного уравнения будут выражаться точно также.
Ответ
Другие задания, имеющиеся на канале, можно найти здесь: