Задание
Построить график функции
y = |{x}² – ½|
(дробную часть числа x принято обозначать в фигурных скобках: {x}; данная функция определена на всём множестве действительных чисел, область её значений – полуинтервал [0; 1), кроме того, она является периодической, её период равен 1).
Решение
Для периодической функции f(x) с периодом T выполняется следующее равенство:
f(x) = f(x + kT),
где k – целое число. Для функции дробной части числа это запишется так (T = 1):
{x} = {x + k}
С учётом того, что дробная часть числа принимает только неотрицательные значения, при возведении обеих частей последнего выражения в квадрат также получится верное равенство:
{x}² = {x+ k}²
Отсюда следует, что функция
y₁ = {x}²
тоже является периодической с периодом T = 1. Построим её график. У целых чисел дробная часть по определению нулевая, следовательно:
y₁(0) = {0}² = 0² = 0
y₁(1) = {1}²= 0² = 0
Заметим, что длина отрезка на оси абсцисс между точками x = 0 и для x = 1 равна единице, что как раз составляет период T функции y₁ = {x}².
Из смысла самого понятия «дробная часть числа» вытекает, что на интервале (0;1) выполняется следующее равенство:
{x} = x,
поэтому при 0 < x < 1 график y₁ = {x}² полностью совпадает с графиком функции y₂ = x², то есть представляет собой ветвь квадратичной параболы (рис. 1).
Отметим на графике ещё две точки, соответствующие значениям y₁(0) и y₁(1) (рис. 2).
С учётом периодичности y₁ = {x}² становится ясно, что её график на всей области определения представляет собой бесконечную череду повторяющихся параболических фрагментов и имеет бесконечное число точек разрыва в местах, соответствующих целым значениям аргумента (рис. 3).
Теперь построим график функции
y₃ = {x}² – ½
Его можно получить из графика y₁ = {x}² смещением последнего вдоль оси ординат на половину единицы вниз (т. е. в сторону отрицательных значений ординаты) (рис. 4).
Для построения графика функции
y = |{x}² – ½|
достаточно все точки графика y₃ = {x}² – ½ , лежащие в третьем и четвёртом квадрантах (т. е. имеющие отрицательные значения ординаты), зеркально отразить относительно оси абсцисс в полуплоскость положительных значений ординат. Получившийся результат представляет собой непрерывную (без точек разрыва) «зубчатую» линию, где каждый из «зубьев» по форме напоминает профиль акульего плавника. Из графика также видно, что функция y(x) обладает периодичностью (T = 1).
Ответ
Комментарий
Пояснения о характере формулировки предлагаемой здесь задачи изложены в комментарии к заданию А-17.
Другие задачи, имеющиеся на канале, можно найти здесь.