Задание
Под целой частью числа x (обозначается при помощи квадратных скобок [x]) понимается наибольшее целое число, не превышающее заданное. Дробная часть x обозначается фигурными скобками и определяется как разность между самим числом и его целой частью: {x} = x – [x] . Область определения функций y=[x] и y = {x} – всё множество действительных чисел, к тому же y = {x} является периодической функцией с периодом, равным 1, а область её значений – полуинтервал [0; 1). На основании данной информации построить график функции:
y = [{x} – ¹/₂]
Решение
В процессе решения задачи А-17 был построен график функции y₁ = {x} – ¹/₂ (рис. 1).
Данная функция, как и y = {x}, является периодической (период T = 1), а область её значений – полуинтервал [–¹/₂; ¹/₂). Из периодичности y₁ следует такая же периодичность и заданной в условии задачи функции y(x) =[{x} – ¹/₂]:
[{x + k} – ¹/₂] = [{x} – ¹/₂], (k ∈ ℤ)
Благодаря этому достаточно построить график y(x), например, на промежутке [0;1), а затем кратно периоду параллельно перенести вправо и влево вдоль оси абсцисс.
Заметим, что y(¹/₂) = [{¹/₂} – ¹/₂] = [¹/₂ – ¹/₂] = [0] = 0, поэтому для удобства разобьём множество значений аргумента на полуотрезке [0; 1) на следующие две части:
1) 0 ≤ x < ¹/₂
На этом промежутке – ¹/₂ ≤ y₁ < 0 (рис. 2), следовательно y(x) = [y₁] = –1 , и её график здесь представляет собой прямолинейный фрагмент, совпадающий с линией y = –1 .
2) ¹/₂ < x < 1
На данном интервале 0 < y₁ < ¹/₂ и поэтому график y(x) совпадает с осью абсцисс, так как y(x) = [y₁] = 0 .
Для завершения построения полученную часть графика функции y(x) остаётся «размножить» в соответствии с её периодичностью.
Ответ
Комментарий
В этой и других задачах, где фигурировала целая часть числа (А-35, А-36, А-37) легко заметить общий характер «действия» квадратных скобок на вид графика содержащего их выражения функции: они делают линию «рваной», разбивая её на горизонтальные фрагменты, а в случае с y = [sin x] (упражнение А-37) получается ещё и регулярно повторяющаяся «одинокая» точка:
Относительно же разобранного здесь задания обращает на себя внимание похожесть полученного в ответе графика на график функции
y₂(x) = arctg(tg x) – arcctg(ctg x)
(см. упражнение А-38):
Указанное сходство можно «усилить» модифицировав функции так:
1) «Растянем» y(x) в два раза вдоль оси абсцисс:
y₃(x) = [{x/2} – ¹/₂]
2) Поскольку период у y₃(x) составляет T = 2, то модифицируем y₂(x) так, чтобы и у неё период стал таким же. Для этого «сожмём» её график в π/2 раз вдоль оси абсцисс:
y₄(x) = arctg(tg(π/2·x)) – arcctg(ctg((π/2·x))
3) Сдвинем график y₄(x) на единицу вправо:
y₅(x) = arctg(tg( π/2·(x–1) )) – arcctg(ctg( π/2·(x–1) ))
4) «Сожмём» график y₅(x) в π раз по оси ординат:
y₆(x) = 1/π·( arctg(tg( π/2·(x–1) )) – arcctg(ctg( π/2·(x–1) )) )
Графики функций y₃(x) и y₆(x) совпадают за исключением точек, соответствующих целым значениям аргумента. Получается, что при любых x ∉ ℤ верно вот такое необычное равенство (для простоты формулировки условия равенства двух функций как раз и понадобилось «растягивание» y(x) ):
π·[{x/2} – ¹/₂] = arctg(tg( π/2·(x–1) )) – arcctg(ctg( π/2·(x–1) ))
Это, если угодно, ещё одно свидетельство своеобразной связи тригонометрических функций с функцией дробной части числа, только в этой раз она ещё и в «связке» с функцией целой части.
Важно отметить, что отталкиваясь от вида графика y(x) несложно подобрать ещё одну функцию, тоже «почти» совпадающую с y₂(x). В качестве основы здесь подходит вот такая:
y₂ = sin x / |sin x| ⇔
График её приведён ниже:
Проводя с графиками операции, подобные описанным выше, можно при желании y₇(x) «состыковать» с y(x) и получить равенство, верное за исключением случаев когда x ∈ ℤ:
[{x/2} – ¹/₂] = –¹/₂ – sin πx / (2|sin πx|)
Аналогично можно «состыковать» и y₇(x) с y₂(x), причём так, чтобы у них ещё и области определения одинаковые оказались (получившееся при этом равенство будет верным при x ≠ π/2·k, где k – целое число):
arctg(tg x) – arcctg(ctg x) = π/2·(sin πx / (2|sin πx|) – 1)
Другие задания, имеющиеся на канале, можно найти здесь:
См. также: