Задание
Изобразите на плоскости множество точек, координаты которых соответствуют требованию:
|y| ≤ cos(arccos(|x| + ¹/₃))
Решение
Начнём с построения графика функции
y₁(x) = cos(arccos x)
Легко видеть, что область определения y₁(x) совпадает с областью определения функции арккосинуса: x ∈ [–1; 1].
В y₁(x) аргументом косинуса является арккосинус, а с учётом того, что арккосинус – функция обратная косинусу, то при –1 ≤ x ≤ 1 выражение cos(arccos x) возвращает значение самого x. Иными словами, на отрезке x ∈ [–1; 1]
y₁(x) = x,
то есть совпадает с графиком линейной функции y = x (рис. 1).
Рассмотрим теперь функцию
y₂(x) = cos(arccos(|x| + ¹/₃))
Она определена, если –1 ≤ |x| + ¹/₃ ≤ 1, то есть при
Поскольку |x| = |–x|, то y₂(x) является чётной функцией и её график симметричен относительно оси ординат. Это означает, что для построения графика y₂(x) достаточно построить его при x > 0 (вторую его часть при x < 0 можно получить зеркальным отражением первой в полуплоскость отрицательных значений абсцисс), но в этом случае |x| = x , поэтому построим сначала график
y₃(x) = cos(arccos(x + ¹/₃))
Он легко получается из графика y₁(x) смещением последнего «влево» (в направлении отрицательных значений оси абсцисс) на ¹/₃ (рис .1). Заметим, что y₂(0) = ¹/₃. «Отзеркалим» в левую полуплоскость часть графика y₃(x), находящуюся в правой полуплоскости, и получим график y₂(x) (рис. 1).
Теперь применим правило, сформулированное в комментарии к задаче А-25 – относительно рассматриваемого здесь упражнению это позволит построить график уравнения
|y| = cos(arccos(|x| + ¹/₃)) ,
а затем используем правило из комментария к задаче А-27, чтобы изобразить искомое множество, которое будет представлять фигуру, по форме похожую на галстук «бабочка».
Ответ
Другие задания, имеющиеся на канале, можно найти здесь: