Задание
Построить график функции:
y = arcsin(sin x)
Решение
Найдём сначала область определения y(x) = arcsin(sin x). Синус числа sin x определён при любом действительном x. Областью значений аргумента арксинуса, при которых он также определён,является отрезок [–1; 1], что полностью совпадает с областью значений функции синуса. Отсюда следует, что заданная в условии задачи функция y(x) определена при любом действительном x.
Функция синуса – периодическая, её период T составляет 2π, следовательно верно равенство
arcsin(sin(x+2πn)) = arcsin(sin x), где n ∈ ℤ
то есть
y(x+2πn) = y(x)
Таким образом, y(x) также является периодической (T = 2π). Это означает, что для построения её графика достаточно построить его на отрезке значений аргумента длиной 2π, а затем полученный график кратно периоду параллельно перенести вправо и влево вдоль оси абсцисс. В нашем случае удобно выбрать отрезок x ∈ [–π/2; 3π/2].
Функции синуса и арксинуса являются нечётными. Отсюда
arcsin(sin(–x)) = arcsin(–sin x) = –arcsin(sin x)
Таким образом
y(–x) = –y(x),
то есть y(x) = arcsin(sin x) является нечётной и её график симметричен относительно начала координат.
Рассмотрим отдельно такой отрезок значений аргумента y(x): 0 ≤ x ≤ π/2.
Арксинус по определению – число от –π/2 до π/2, синус которого равен заданной величине. В y(x) аргументом арксинуса является sin x, а с учётом того, что арксинус – функция обратная синусу, это означает, что на рассматриваемом отрезке 0 ≤ x ≤ π/2 выражение arcsin(sin x) возвращает значение самого x. Иными словами при x ∈ [0; π/2]. имеем, что arcsin(sin x) = x , то есть график y(x) полностью совпадает с графиком линейной функции y₁ = x. С учётом нечётности это позволяет изобразить график y(x) на отрезке x ∈ [–π/2; π/2] (рис. 1).
Рассмотрим теперь вспомогательную функцию вида
y₂ = –arcsin(sin(x – π))
Несмотря на то, что мы пока знаем только, как выглядит фрагмент графика y(x), на основании этого возможно построить фрагмент графика y₂ . Для этого каждую точку фрагмента графика y(x) нужно сместить вправо на π единиц (при этом получится фрагмент графика arcsin(sin(x – π)) ), а затем «перевернуть», поменяв знаки ординат точек на противоположные (рис. 2).
При выполнении указанных построений мы получили фрагмент графика y₂ на отрезке значений аргумента x ∈ [π/2; 3π/2]. В соответствии с формулой приведения
sin(x – π) = –sin x
имеем:
y₂ = –arcsin(sin(x – π)) = –arcsin(–sin x) = –(–arcsin(sin x)) = arcsin(sin x) = y(x)
Таким образом из равенства y₂ = y(x) следует, что мы построили фрагмент графика функции y(x) на отрезке x ∈ [π/2; 3π/2]. Объединяя его с другим фрагментом (рис. 1) получаем график y(x) при x ∈ [–π/2; 3π/2] (рис. 3).
Остаётся принять во внимание периодичность y(x) и сделать вывод, что график функции y = arcsin(sin x) представляет собой бесконечную ломаную линию.
Ответ
Другие задания, имеющиеся на канале, можно найти здесь:
См. также:
↻ Заметка, как сделать при помощи электронных таблиц имитацию игральной кости.