Задание
Найти значение интеграла
Решение
Здесь не получится воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница, поскольку отыскать у стоящей под интегралом функции выражение её первообразной будет, мягко говоря, затруднительно. Для решения задачи нужно отталкиваться от геометрического смысла определённого интеграла, который равен площади фигуры, ограниченной графиком подынтегральной функции и осью абсцисс, а также вертикальными линиями, соответствующими нижнему и верхнему пределам интегрирования.
В задании А-65 выполнялось построение графика функции
и было установлено, что он при x ⩾ 1 совпадает с графиком линейной функции y = x – 1 . Когда x ⩽ –1, то выражение y(x) совпадает с y = –x – 1, график которой также представляет прямую линию. В случае же для –1 < x < 1 функция y(x) описывает «верхнюю» половину окружности с центром в начале координат и радиусом, равным единице (рис. 1).
Обозначим искомое значение интеграла как I. Из рис. 1 видно, что оно будет равно суммарной площади двух прямоугольных равнобедренных треугольников с катетами длиной ¹/₂ и половины круга с радиусом 1. Отсюда:
I = 2 · ¹/₂ · ¹/₂ · ¹/₂ + ¹/₂ · π·1² = π/2 + ¹/₄
Ответ
π/2 + ¹/₄
Комментарий
В задании А-66 рассматривалось построение области, координаты точек которой удовлетворяют условию
Из ответа к разобранной выше задачи следует, что площадь такой области составляет
S = 2I = π + ¹/₂
Другие задания, имеющиеся на канале, можно найти здесь:
Сведения о новых статьях блога можно найти в Telegram-канале Shuric_Himik