Задание
Решите уравнение:
5{x}² – 28{x} + 15 = 0
(дробную часть числа x принято обозначать в фигурных скобках: {x}; функция y={x} определена на всём множестве действительных чисел, область её значений – полуинтервал [0; 1), она является периодической функцией с периодом, равным 1).
Решение
Для решения уравнения сделаем замену переменной:
t = {x}
Получим:
5t² – 28t + 15 = 0
Найдём дискриминант этого квадратного уравнения:
D = (–28)² – 4·5·15 = 484 = 22²
Соответственно квадратный корень из дискриминанта будет равен 22. Находим корни уравнения:
t₁ = (–(–28) – 22) / 2·5) = (28 – 22) / 10 = 6/10 = ³/₅
t₂ = (28 + 22) / 10 = 50 / 10 = 5
Возвращаемся к старой переменной и получаем два требующих рассмотрения случая:
1) {x} = ³/₅
Простейшим решением данного уравнения является ³/₅, а с учётом периодичности функции дробной части выходит, что корнем будет любое число вида x = ³/₅ + k, где k ∈ ℤ.
2) {x} = 5
По определению дробная часть числа – неотрицательная величина, не превосходящая единицы. Отсюда следует, что не существует такого числа, дробная часть которого была бы равна пяти и потому уравнение {x} = 5 не имеет решений.
Ответ
x = ³/₅ + k (k ∈ ℤ)
Другие задания, имеющиеся на канале, можно найти здесь:
