Задание
Найдите площадь фигуры, образуемой точками на плоскости, координаты которых удовлетворяют следующему условию:
Решение
Поскольку функция арксинуса определена не для любого значения аргумента, неравенство имеет смысл, если
–1 ⩽ 3x/(2π) ⩽ 1 или –2π/3 ⩽ x ⩽ 2π/3
Также легко видеть, что обе части неравенства представляют собой неотрицательные выражения. Это означает, что обе его части можно возвести в квадрат:
Построение на плоскости области, координаты точек которой соответствуют полученному требованию, рассматривалось в задании А-67, где было установлено, что эта область слева и справа ограничена линиями x = –2π/3 и x=2π/3 , а сверху и снизу – линиями графиков функций y = |cos x| и y = –|cos x| (рис. 1).
Полученная фигура симметрична относительно оси ординат (следствие чётности функции косинуса) и оси абсцисс (следствие того, что в левой части неравенства находится |y|). Это означает, что искомая площадь S всей фигуры будет равна учетверённой площади I части этой фигуры, расположенной в первом квадранте:
S = 4I
Исходя из геометрического смысла интеграла величина I будет составлять
Отсюда
Ответ
Другие задания, имеющиеся на канале, можно найти здесь:
НОВОСТИ КАНАЛА:
Уважаемые читатели! Теперь есть Telegram-канал «Shuric_Himik (Широков Александр)» (URL: https://t.me/shuric_himik), где регулярно выкладываются ссылки на новые публикации этого Дзен-блога.